《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

7. 计算：$(3x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}+\frac{1}{2}x^{2}y^{2})÷ (-\frac{1}{2}xy)^{2}= $$12y-4x+2$.

答案： $12y-4x+2$

8. 已知$3× 27^{m}÷ 9^{m}= 3^{21}$,求$m$的值.

答案： 解：$\because 3× 27^{m}÷ 9^{m}$
$=3× (3^{3})^{m}÷ (3^{2})^{m}$
$=3× 3^{3m}÷ 3^{2m}$
$=3^{1+m}$，
$3× 27^{m}÷ 9^{m}=3^{21}$，
$\therefore 3^{1+m}=3^{21}$.
$\therefore 1+m=21$.
解得$m=20$.

9. 先化简,再求值：$(2x^{m + 2}-\frac{2}{3}x^{m + 1}+x^{m})÷ (-3x^{m - 1})$,其中$x = -3$.

答案： 解：$(2x^{m+2}-\dfrac{2}{3}x^{m+1}+x^{m})÷ (-3x^{m-1})$
$=2x^{m+2}÷ (-3x^{m-1})-\dfrac{2}{3}x^{m+1}÷ (-3x^{m-1})+x^{m}÷ (-3x^{m-1})$
$=-\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{2}{9}x^{2}-\dfrac{1}{3}x$，
当$x=-3$时，原式$=-\dfrac{2}{3}× (-3)^{3}+\dfrac{2}{9}× (-3)^{2}-\dfrac{1}{3}× (-3)=21$.

10. 【概念学习】我们规定两数$a$,$b$之间的一种运算,记作$[a,b]$：如果$a^{c}= b$,那么$[a,b]= c$. 例如$2^{3}= 8$,记作$[2,8]= 3$.
【初步探究】(1)根据以上规定求出：$[4,64]=$3；$[2024,1]=$0；
【深入思考】对于同底数幂的运算,我们有$a^{x}\cdot a^{y}= a^{x + y}$,$a^{x}÷ a^{y}= a^{x - y}$.
例如$2^{4}\cdot 2^{7}= 2^{4 + 7}= 2^{11}$,$2^{7}÷ 2^{4}= 2^{7 - 4}= 2^{3}$.
(2)小明发现$[5,3]+[5,4]= [5,12]$也成立,并证明如下：
设$[5,3]= x$,$[5,4]= y$,则$5^{x}= 3$,$5^{y}= 4$. 因为$5^{x}× 5^{y}= 5^{x + y}= 12$,所以$[5,12]= x + y$,所以$[5,3]+[5,4]= x + y= [5,12]$.
根据以上证明,请计算$[2024,6]+[2024,7]= [2024,$42$]$,请写清楚计算过程；
(3)猜想$[4,14]-[4,7]= [4,$2$]$,并说明理由.

答案： （1）3 0
（2）42
设$[2024,6]=x$，$[2024,7]=y$，则$2024^{x}=6$，$2024^{y}=7$.
$\because 2024^{x}× 2024^{y}=2024^{x+y}=6× 7=42$，
$\therefore [2024,42]=x+y$.
$\therefore [2024,6]+[2024,7]=x+y=[2024,42]$.
（3）2. 理由如下：
设$[4,14]=x$，$[4,7]=y$，
则$4^{x}=14$，$4^{y}=7$.
$\because 4^{x}÷ 4^{y}=4^{x-y}=14÷ 7=2$，
$\therefore [4,2]=x-y$.
$\therefore [4,14]-[4,7]=x-y=[4,2]$.