《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

11. 在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子,解答问题.
材料：在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一,所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,进行约分,以达到计算目的.
例：若$\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{4}$,求代数式$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值.
解：$\because\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{4}$,$\therefore\frac{x^{2}+1}{x}= 4$. $\therefore x+\frac{1}{x}= 4$.
$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= (x+\frac{1}{x})^{2}-2= 16 - 2= 14$.
根据材料回答问题：
(1)已知$\frac{x}{x^{2}-x + 1}= \frac{1}{4}$,求$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值；
(2)已知$\frac{x}{x^{2}-3x + 1}= \frac{1}{2}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+2x^{2}+1}$的值.

答案： 解：（1）$\because \dfrac{x}{x^{2}-x+1}=\dfrac{1}{4}$，$\therefore \dfrac{x^{2}-x+1}{x}=4$．$\therefore x+\dfrac{1}{x}=5$．$\therefore x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-2=23$．（2）$\because \dfrac{x}{x^{2}-3x+1}=\dfrac{1}{2}$，$\therefore \dfrac{x^{2}-3x+1}{x}=2$．$\therefore x+\dfrac{1}{x}=5$．$\therefore \dfrac{x^{4}+2x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}+2+\dfrac{1}{x^{2}}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=25$．$\therefore \dfrac{x^{2}}{x^{4}+2x^{2}+1}=\dfrac{1}{25}$．

12. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”. 例如：$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2}= \frac{4x(x - 2)}{x - 2}= 4x$,则称分式$\frac{4x^{2}-8x}{x - 2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”. 根据上述定义,解决下列问题.
(1)下列分式中是“巧分式”的有______；(填序号)
①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；②$\frac{2x + 5}{x + 3}$；③$\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$.
(2)若分式$\frac{x^{2}-4x + m}{x + n}$（$m$,$n$为常数）是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x - 7$,求$m$,$n$的值；
(3)若分式$\frac{-2x^{3}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$,请判断$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是不是“巧分式”,并说明理由.
(1)①③
(2)$\because$分式$\dfrac{x^{2}-4x+m}{x+n}$（$m$，$n$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，$\therefore (x + n)(x - 7)=x^{2}-4x + m$．$\therefore x^{2}+(n - 7)x - 7n=x^{2}-4x + m$．$\therefore \begin{cases} n - 7=-4, \\ -7n=m. \end{cases}$解得$\begin{cases} m=-21, \\ n=3. \end{cases}$
(3)$\dfrac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”．理由如下：$\because$分式$\dfrac{-2x^{3}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，$\therefore A=\dfrac{-2x^{3}+2x}{1 - x}=\dfrac{2x(1 - x^{2})}{1 - x}=\dfrac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x}=2x(1 + x)$．$\therefore \dfrac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}=\dfrac{2x(x^{2}+2x + 1)}{2x(x + 1)}=\dfrac{(x + 1)^{2}}{x + 1}=x + 1$．又$x + 1$是整式，$\therefore \dfrac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”．

答案： （1）①③；（2）$\because$分式$\dfrac{x^{2}-4x+m}{x+n}$（$m$，$n$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，$\therefore (x + n)(x - 7)=x^{2}-4x + m$．$\therefore x^{2}+(n - 7)x - 7n=x^{2}-4x + m$．$\therefore \begin{cases} n - 7=-4, \\ -7n=m. \end{cases}$解得$\begin{cases} m=-21, \\ n=3. \end{cases}$（3）$\dfrac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”．理由如下：$\because$分式$\dfrac{-2x^{3}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，$\therefore A=\dfrac{-2x^{3}+2x}{1 - x}=\dfrac{2x(1 - x^{2})}{1 - x}=\dfrac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x}=2x(1 + x)$．$\therefore \dfrac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}=\dfrac{2x(x^{2}+2x + 1)}{2x(x + 1)}=\dfrac{(x + 1)^{2}}{x + 1}=x + 1$．又$x + 1$是整式，$\therefore \dfrac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”．