《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

10. 先化简,再求值：$\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}÷\frac{y^{2}-xy}{xy + x^{2}}$,其中$x = 2$,$y= -3$.

答案： 解：原式$= \frac{(x + y)(x - y)}{(x + y)^2} \cdot \frac{x(x + y)}{-y(x - y)} = -\frac{x}{y}$．当$x = 2$，$y = -3$时，原式$= -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$．

11. (1)计算：$(a + 2)(a^{2}-2a + 4)=$$a^3 + 8$,$(2x + y)(4x^{2}-2xy + y^{2})=$$8x^3 + y^3$；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁,可以从中发现一个新的乘法公式,将这个乘法公式用$a$,$b$表示：$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$；
(3)利用所学知识以及(2)所得乘法公式,计算$\frac{m^{3}+n^{3}}{m^{2}-mn + n^{2}}÷\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}-2mn + n^{2}}$.
$\frac{m^3 + n^3}{m^2 - mn + n^2} ÷ \frac{m^2 - n^2}{m^2 - 2mn + n^2} = \frac{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}{m^2 - mn + n^2} \cdot \frac{(m - n)^2}{(m + n)(m - n)} = m - n$

答案： （1）$a^3 + 8$ $8x^3 + y^3$；（2）$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$；（3）$\frac{m^3 + n^3}{m^2 - mn + n^2} ÷ \frac{m^2 - n^2}{m^2 - 2mn + n^2} = \frac{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}{m^2 - mn + n^2} \cdot \frac{(m - n)^2}{(m + n)(m - n)} = m - n$．