《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

7. 利用因式分解可以知道,$17^{4}-15^{4}$能够被某个数整除,这个数是(D)。
A.18
B.28
C.36
D.64

答案： D

8. 分解因式：
(1)$(2x + y)^{2}-(x + 2y)^{2}$；
(2)$(2ab + 1)^{2}-a^{4}b^{4}$。

答案： （1）$(2x+y)^{2}-(x+2y)^{2}$
$=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]$
$=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y)$．
（2）$(2ab+1)^{2}-a^{4}b^{4}=(2ab+1+a^{2}b^{2})(2ab+1-a^{2}b^{2})=(ab+1)^{2}(2ab+1-a^{2}b^{2})$．

9. 整体思想是数学解题中常见的一种思想方法。下面是某同学对多项式$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x + 2)+1$进行因式分解的过程。将“$x^{2}+2x$”看成一个整体,令$x^{2}+2x = y$,则原式$=y^{2}+2y + 1= (y + 1)^{2}$,再将“$y$”还原即可。
解：设$x^{2}+2x = y$,
原式$=y(y + 2)+1$
$=y^{2}+2y + 1$
$=(y + 1)^{2}$
$=(x^{2}+2x + 1)^{2}$。
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成,请你直接写出最后的结果$(x+1)^{4}$；
②请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-4x)(x^{2}-4x + 8)+16$进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：$(1 - 2 - 3-…-2025)×(2 + 3+…+2026)-(1 - 2 - 3-…-2026)×(2 + 3+…+2025)$。

答案： （1）①$(x+1)^{4}$
②设$x^{2}-4x=y$，
原式$=y(y+8)+16$
$=y^{2}+8y+16=(y+4)^{2}=(x^{2}-4x+4)^{2}=(x-2)^{4}$．
（2）设$x=1-2-3-\cdots -2025$，
$y=2+3+\cdots +2026$，
则$1-2-3-\cdots -2026=x-2026$，
$2+3+\cdots +2025=y-2026$，
$x+y=1+2026=2027$．
所以原式$=xy-(x-2026)(y-2026)$
$=xy-xy+2026(x+y)-2026^{2}=2026× 2027-2026^{2}=2026× (2027-2026)=2026$．