《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

6. 如图15.3-32,在△ABC中,∠C= 90°,DE垂直平分AB,AD恰好平分∠BAC.若DE= 1,则BC的长是3.

答案： 3

7. 如图15.3-33,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠A= 30°,CD⊥AB,垂足为D.若BD= 1,则AD的长是3.

答案： 3

8. 如图15.3-34,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠ABC= 60°,BC= 2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设点E的运动时间为t s(0＜t＜6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为(D).
A.2
B.2.5或3.5
C.3.5或4.5
D.2或3.5或4.5

答案： D

9. 如图15.3-35,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°,AD⊥AC交BC于点D.
求证BC= 3AD.

答案： 证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.又AD⊥AC，
∴∠DAC=90°.
∴∠BAD=∠BAC－∠DAC=30°.
∴AD=DB.在Rt△CAD中，
∵∠DAC=90°，∠C=30°，
∴CD=2AD.
∴BC=CD+DB=2AD+AD=3AD.

10. 如图15.3-36,已知∠MAN,AC平分∠MAN.
(1)在图15.3-36①中,若∠MAN= 120°,∠ABC= ∠ADC= 90°,求证：AB+AD= AC.
(2)在图15.3-36②中,若∠MAN= 120°,∠ABC+∠ADC= 180°,则(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.

答案： （1）证明：
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°.又∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°.
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，AB=$\frac{1}{2}$AC.
∴AB+AD=AC.（2）解：结论仍成立. 证明如下：如图，过点C分别作CE⊥AM，CF⊥AN，垂足分别为E，F，则∠CED=∠CFB=90°.
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC.在△CDE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CDE=∠CBF,\\ ∠CED=∠CFB,\\ CE=CF,\end{array}\right.$
∴△CDE≌△CBF（AAS）.
∴DE=BF.
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠MAC=∠NAC=60°.
∴∠ECA=∠FCA=30°.
∴在Rt△ACE与Rt△ACF中，有AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}$AC.
∴AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$AC=AC.