《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

11. 如图15.3 - 16,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,过点$B的直线BE交直线AC于点D$,$CE\perp BE$,垂足为$E$,$BE平分\angle ABC$。
求证：(1)$BD = 2CE$；(2)$AB + AD = BC$。

答案：
证明：（1）如图，延长CE，BA交于点F.

∵CE⊥BE，垂足为E，BE平分∠ABC，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∠CBE=∠FBE.
在△FBE与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l} \angle FBE=\angle CBE,\\ BE=BE,\\ \angle BEF=\angle BEC,\end{array}\right.$
∴△FBE≌△CBE（ASA）.
∴EF=CE.
∴CF=2CE.
∵∠BAC=90°，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACE.
在△ABD与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle BAD=\angle CAF,\\ AB=AC,\\ \angle ABD=\angle ACF,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF（ASA）.
∴BD=CF.
∴BD=2CE.
（2）如图，过点D作DH⊥BC，垂足为H.

∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°.
∴∠HDC=45°=∠ACB.
∴DH=CH.
∵BE平分∠ABC，∠BAC=90°，DH⊥BC，
∴AD=DH.
∴AD=CH.
在Rt△ABD与Rt△HBD中，$\left\{\begin{array}{l} BD=BD,\\ AD=HD,\end{array}\right.$
∴Rt△ABD≌Rt△HBD（HL）.
∴AB=BH.
∴BC=BH+CH=AB+AD.

12. 在平面直角坐标系中,点$A(t - 1,1)与点B关于过点(t,0)且垂直于x$轴的直线对称。
(1)以$AB为底边作等腰三角形ABC$。
①当$t = 2$时,点$B$的坐标为______；
②若$\triangle ABC上所有点到y轴的距离都不小于1$,则$t$的取值范围是______。
(2)以$AB为斜边作等腰直角三角形ABD$,直线$m过点(0,b)且与x$轴平行,若直线$m上存在点P$,$\triangle ABD上存在点K$,满足$PK = 1$,求$b$的取值范围。

答案：
（1）①(3,1)
②t≥2或t≤-2
（2）当点D在AB上方时，0≤b≤3；
当点D在AB下方时，-1≤b≤2.
如图.

∵A(t - 1,1)，B(t + 1,1)，
∴AB=t + 1-(t - 1)=2.
∵△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴点D到AB的距离为1.
∴当点D在AB上方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK = 1，则0≤b≤3.
当点D在AB下方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK = 1，则-1≤b≤2.