《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

14.1 如图 14-1,已知$\triangle ABC\cong\triangle DEF$,$\angle A = 85^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,$AB = 8$,$EH = 2$.
(1) 求$\angle F的度数与DH$的长；
(2) 求证$AB// DE$.

答案： （1）解：
∵∠A=85°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°.
∵△ABC≌△DEF，AB=8，
∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8.
∵EH=2，
∴DH=DE-EH=8-2=6.（2）证明：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF.
∴AB//DE.

14.2 如图 14-2①,$AB = 4\ cm$,$AC\perp AB$,$BD\perp AB$,垂足分别为$A$,$B$,$AC = BD = 3\ cm$.点$P在线段AB上以1\ cm/s的速度由点A向点B$运动,同时,点$Q在线段BD上由点B向点D$运动,它们运动的时间为$t\ s$.
(1) 若点$Q的运动速度与点P$的运动速度相等,当$t = 1$时,$\triangle ACP与\triangle BPQ$是否全等？判断此时线段$PC和线段PQ$的位置关系,请说明理由.
(2) 如图 14-2②,将图 14-2①中的“$AC\perp AB$,$BD\perp AB$”改为“$\angle CAB = \angle DBA = 60^{\circ}$”,其他条件不变. 设点$Q的运动速度为x\ cm/s$,是否存在实数$x$,使得$\triangle ACP与\triangle BPQ$全等？若存在,求出相应的$x$,$t$的值；若不存在,请说明理由.

答案： （1）当t=1时，△ACP≌△BPQ，此时PC⊥PQ.理由如下：当t=1时，AP=BQ=1cm.
∴BP=AB-AP=3cm.在△ACP和△BPQ中，$\left\{\begin{array}{l} AP=BQ,\\ ∠A=∠B=90^{\circ },\\ AC=BP,\end{array}\right. $
∴△ACP≌△BPQ（SAS）.
∴∠ACP=∠BPQ.
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°.
∴PC⊥PQ.（2）存在.由题意，得AP=t cm，BP=（4-t）cm，AC=3 cm，BQ=xt cm.经分析可知，△ACP和△BPQ全等只有△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况符合题意.下面分两种情况分别求解：①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ.
∴$\left\{\begin{array}{l} 3=4-t,\\ t=xt,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} t=1,\\ x=1;\end{array}\right. $②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP.
∴$\left\{\begin{array}{l} 3=xt,\\ t=4-t,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} t=2,\\ x=\frac {3}{2}.\end{array}\right. $综上所述，当x=1，t=1或$x=\frac {3}{2}$，t=2时，△ACP与△BPQ全等.

14.3 (1) 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
(2) $\angle AOB$的位置如图 14-3 所示,则到$\angle AOB$两边距离相等的点是点M.

答案： （1）平分线 （2）M