《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

8. 若$x^{2}+(m - 3)x + 4$是完全平方式,则$m$的值是(D)。
A.$7$
B.$-1$
C.$\pm7$
D.$7或-1$

答案： D

9. 已知$a + b = 1$,$ab = -6$,则$a^{3}b - 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为(D)。
A.$57$
B.$120$
C.$-39$
D.$-150$

答案： D

10. 已知$x + y = 4$,$xy = 2$,求$x^{3}y + 2x^{2}y^{2}+xy^{3}$的值。

答案： 解：$x^{3}y+2x^{2}y^{2}+xy^{3}$$=xy(x^{2}+2xy+y^{2})$$=xy(x+y)^{2}.$$\because x+y=4$，$xy=2$，$\therefore x^{3}y+2x^{2}y^{2}+xy^{3}=xy\left(x+y\right)^{2}=2×4^{2}=32.$

11. 【阅读与思考】利用公式法,可以将一些形如$ax^{2}+bx + c(a\neq0)的多项式变形为a(x + m)^{2}+n$的形式,我们把这样的变形方法叫作多项式$ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的配方法,运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解。
例如：$x^{2}+4x - 5 = x^{2}+4x + 2^{2}-2^{2}-5 = (x + 2)^{2}-9 = (x + 2 + 3)(x + 2 - 3) = (x + 5)(x - 1)$。
(1) 【解决问题】运用配方法将下列多项式进行因式分解。
①$x^{2}+3x - 4$；②$x^{2}-8x - 9$。
(2) 【深入研究】说明多项式$x^{2}-6x + 12$的值总是一个正数。
(3) 【拓展运用】已知$a$,$b$,$c分别是\triangle ABC$的三条边的长,且$a^{2}-2ab + 2b^{2}-2bc + c^{2} = 0$,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由。

答案： （1）①$x^{2}+3x-4$$=x^{2}+3x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-4$$=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{25}{4}$$=\left(x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}\right)\left(x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}\right)$$=(x+4)(x-1).$②$x^{2}-8x-9=x^{2}-8x+4^{2}-4^{2}-9$$=(x-4)^{2}-25$$=(x-4+5)(x-4-5)$$=(x+1)(x-9).$（2）$x^{2}-6x+12=x^{2}-6x+9+3$$=(x-3)^{2}+3.$$\because (x-3)^{2}\geq0$，$\therefore (x-3)^{2}+3＞0.$$\therefore$多项式$x^{2}-6x+12$的值总是一个正数.（3）$\triangle ABC$为等边三角形. 理由如下：$\because a^{2}-2ab+2b^{2}-2bc+c^{2}=0$，$\therefore (a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})=0.$$\therefore (a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0.$$\therefore a-b=0$，$b-c=0.$$\therefore a=b=c.$$\therefore \triangle ABC$为等边三角形.