《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

8. 计算$(a - b)^{3}(b - a)^{4}$的结果有①$(a - b)^{7}$；②$(b - a)^{7}$；③$-(b - a)^{7}$；④$-(a - b)^{7}$,其中正确的是①③.(填序号)

答案： ①③

9. 计算：$(-\frac{1}{5})^{2024}× 5^{2025}$.

答案： 解：$\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{2024}×5^{2025}=\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{2024}×5^{2024}×5=\left(-\dfrac{1}{5}×5\right)^{2024}×5=(-1)^{2024}×5=5$.

10. 观察下面三行单项式：
$x$,$2x^{2}$,$4x^{3}$,$8x^{4}$,$16x^{5}$,$32x^{6}$,…； ①
$-2x$,$4x^{2}$,$-8x^{3}$,$16x^{4}$,$-32x^{5}$,$64x^{6}$,…； ②
$2x^{2}$,$-3x^{3}$,$5x^{4}$,$-9x^{5}$,$17x^{6}$,$-33x^{7}$,…； ③
根据你发现的规律,解答下列问题：
(1)第①行的第$8$个单项式为$128x^{8}$；第②行的第$9$个单项式为$-512x^{9}$；第③行的第$10$个单项式为$-513x^{11}$；
(2)取每行的第$9$个单项式,令这三个单项式的和为$A$. 当$x= \frac{1}{2}$时,求$512(A+\frac{1}{4})$的值.
由题意，得$A=2^{8}x^{9}-2^{9}x^{9}+(2^{8}+1)x^{10}$，
当$x=\dfrac{1}{2}$时，$A=2^{8}×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{9}-2^{9}×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{9}+(2^{8}+1)×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}$
$=\dfrac{1}{2}-1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2^{10}}$
$=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2^{10}}$，
则$512\left(A+\dfrac{1}{4}\right)=2^{9}×\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2^{10}}+\dfrac{1}{4}\right)$
$=2^{9}×\dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{1}{2}$.

答案： （1）$128x^{8}-512x^{9}-513x^{11}$
（2）由题意，得$A=2^{8}x^{9}-2^{9}x^{9}+(2^{8}+1)x^{10}$，
当$x=\dfrac{1}{2}$时，$A=2^{8}×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{9}-2^{9}×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{9}+(2^{8}+1)×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}$
$=\dfrac{1}{2}-1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2^{10}}$
$=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2^{10}}$，
则$512\left(A+\dfrac{1}{4}\right)=2^{9}×\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2^{10}}+\dfrac{1}{4}\right)$
$=2^{9}×\dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{1}{2}$.