《2025年能力培养与测试八年级数学上册人教版》

6. 如图15.3 - 11,已知$D是\triangle ABC的边BC$的中点,$DE\perp AC$,$DF\perp AB$,垂足分别为$E$,$F$,且$BF = CE$。求证：$\triangle ABC$是等腰三角形。

答案： 证明：
∵D是边BC的中点，
∴BD=CD.
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE均为直角三角形.
在Rt△BDF和Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ BF=CE,\end{array}\right.$
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.

7. 如图15.3 - 12,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,垂足为$D$,$BF平分\angle ABC交CD于点E$,交$AC于点F$。求证$CE = CF$。

答案： 证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=90°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE.
∴∠CFB=∠DEB.
又∠FEC=∠DEB，
∴∠FEC=∠CFB.
∴CE=CF.

8. 如图15.3 - 13,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle BAC = 30^{\circ}$,在直线$AC上找点P$,使$\triangle ABP$是等腰三角形,则$\angle APB$的度数为15°或30°或75°或120°。

答案： 15°或30°或75°或120°

9. 如图15.3 - 14,$D是\triangle ABC$内部的一点,$AD = CD$,$\angle BAD = \angle BCD$。下列结论正确的是①③④。(填序号)
①$\angle DAC = \angle DCA$；②$AB = AC$；③$BD\perp AC$；④$BD平分\angle ABC$。

答案： ①③④

10. 如图15.3 - 15,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,在$AB边上取点D$,在$AC的延长线上取点E$,使得$BD = CE$,连接$DE$,交$BC于点G$。求证$DG = EG$。

答案：
证明：如图，过点D作DF//AC交BC于点F.

∵DF//AC，
∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB.
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠DFB.
∴BD=DF.
∵BD=CE，
∴DF=CE.
在△DFG和△ECG中，$\left\{\begin{array}{l} \angle DGF=\angle EGC,\\ \angle DFC=\angle ECG,\\ DF=EC,\end{array}\right.$
∴△DFG≌△ECG（AAS）.
∴DG=EG.