《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

1. 如图 1 - 2 - 12,在四边形 $ABCD$ 中,已知 $AB// DC$,$AB = DC$.在不添加任何辅助线的前提下,要想使该四边形成为矩形,只需再加上一个条件：∠A=90°（答案不唯一）.(填上你认为正确的一个答案即可)

答案： ∠A=90°（答案不唯一）

2. 已知点 $E$,$F$,$G$,$H$ 分别是四边形 $ABCD$ 的边 $AB$,$BC$,$CD$,$DA$ 的中点.若 $AC\perp BD$ 且 $AC\neq BD$,则四边形 $EFGH$ 的形状是矩形.(填“矩形”或“菱形”)

答案： 矩形

3. 如图 1 - 2 - 13,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$,$O$ 是边 $AB$ 的中点,$\angle AOD = \angle BOC$.求证：四边形 $ABCD$ 是矩形.

答案： 证明：
∵O是边AB的中点，
∴OA=OB.
在△AOD和△BOC中，$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠B=90^{\circ },\\ OA=OB,\\ ∠AOD=∠BOC,\end{array}\right. $
∴△AOD≌△BOC(ASA)，
∴AD=BC.
∵∠A=∠B=90°，
∴AD//BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形.

4. 如图 1 - 2 - 14,四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$AD// BC$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,有下列条件：
①$AB// CD$,②$AD = BC$.
(1)请从以上①②中任选 1 个作为条件,证明四边形 $ABCD$ 是矩形；
(2)在(1)的条件下,若 $AB = 3$,$AC = 5$,求四边形 $ABCD$ 的面积.

答案：
(1)选择①.
证明：
∵AB//CD，AD//BC，
∴ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
选择②.
证明：
∵AD=BC，AD//BC，
∴ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
(2)解：
∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5，
∴BC=$\sqrt {AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt {5^{2}-3^{2}}=4$.
∴矩形ABCD的面积为3×4=12.

5. 如图 1 - 2 - 15,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$.
(1)尺规作图：作 $AC$ 边上的中线 $BO$(保留作图痕迹,不要求写作法).
(2)在(1)所作的图中,将中线 $BO$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $180^{\circ}$ 得到 $DO$,连接 $AD$,$CD$.求证：四边形 $ABCD$ 是矩形.

答案：

(1)解：如图①，线段BO即为所求.

(2)证明：如图②，由
(1)得AO=CO，由旋转得BO=DO.
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形.