《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

3. 如图 4 - 4 - 21,在矩形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点G$,$E为AD$的中点,连接$BE交AC于点F$,连接$FD$。若$\angle BFA = 90^{\circ}$,则下列四对三角形：①$\triangle BEA与\triangle ACD$；②$\triangle FED与\triangle DEB$；③$\triangle CFD与\triangle ABG$；④$\triangle ADF与\triangle CFB$。其中相似的为(D)。

A.①④
B.①②
C.②③④
D.①②③

答案： D

4. 如图 4 - 4 - 22,在正方形$ABCD$中,$P$,$Q分别是边BC$,$CD$上的点,且$BP = 3PC$,$Q是CD$的中点。试说明：$\triangle ADQ\sim\triangle AQP$。
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答案： 解：设AD=4a，根据四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点，则AB=AD=4a，BP=3a，
PC=a，QC=DQ=2a，
那么AP²=AB²+BP²=16a²+9a²=25a²，
AQ²=AD²+DQ²=16a²+4a²=20a²，
PQ²=PC²+QC²=a²+4a²=5a².
$\therefore AP²=AQ²+PQ²$，AQ=2$\sqrt{5}$a，
PQ=$\sqrt{5}$a，即△QAP是直角三角形，∠AQP=90°.
$\because ∠D=90°$，$\therefore ∠ADQ=∠AQP$.
又$\because \frac{AD}{AQ}=\frac{4a}{2\sqrt{5}a}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{DQ}{QP}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
$\therefore \frac{AD}{AQ}=\frac{DQ}{QP}$. $\therefore △ADQ∽△AQP$.

5. 如图 4 - 4 - 23,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,它们的三边满足$\frac{AB}{AD}= \frac{BC}{DE}= \frac{CA}{EA}$,且点$B$,$D$,$E$在同一条直线上。求证：$\angle BAD = \angle CAE$。
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答案： 证明：$\because \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{CA}{EA}$，
$\therefore △ABC∽△ADE$. $\therefore ∠BAC=∠DAE$.
$\therefore ∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE$.
$\therefore ∠BAD=∠CAE$.

6. 如图 4 - 4 - 24,在正方形$ABCD$中,$P是边BC$上一点,$BE\perp AP$,$DF\perp AP$,垂足分别是点$E$,$F$。
(1) 求证：$EF = AE - BE$；
(2) 连接$BF$,如果$\frac{AF}{BF}= \frac{DF}{AD}$,求证：$EF = EP$。
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答案： 证明：
(1)$\because$四边形ABCD为正方形，
$\therefore AB=AD$，∠BAD=90°.
$\because BE⊥AP$，DF⊥AP，$\therefore ∠BEA=∠AFD=90°$.
$\because ∠BAE+∠DAF=90°$，∠DAF+∠ADF=90°，
$\therefore ∠BAE=∠ADF$.
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BEA=∠AFD,\\ ∠BAE=∠ADF,\\ AB=DA,\end{array}\right.$
$\therefore △ABE≌△DAF(AAS)$，$\therefore BE=AF$，
$\therefore EF=AE - AF=AE - BE$.
(2)$\because \frac{AF}{BF}=\frac{DF}{AD}$，AF=BE，
$\therefore \frac{BE}{BF}=\frac{DF}{AD}$，$\therefore \frac{BE}{DF}=\frac{BF}{AD}$，
$\therefore Rt△BEF∽Rt△DFA$，$\therefore ∠FBE=∠ADF$.
$\because ∠BAE=∠ADF$，$\therefore ∠FBE=∠BAE$.
$\because ∠PBE=∠BAE$，$\therefore ∠FBE=∠PBE$.
而BE⊥EP，$\therefore EF=EP$.