《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

2. 不解方程,求下列方程的两根之和、两根之积：
(1) $ x^{2}-3x + 1 = 0 $；
(2) $ 3x^{2}-2x = 2 $.

答案： 解：
(1)3，1.
(2)$\frac{2}{3}$，$-\frac{2}{3}$.

3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 3x^{2}-19x + m = 0 $ 的一个根是 1,求它的另一个根及 $ m $ 的值.

答案： 解：它的另一个根是$\frac{16}{3}$，m的值是16.

1. 已知 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-4x + 1 = 0 $ 的两个实数根,则 $ x_{1}x_{2} $ 等于(C).
A.-4
B.-1
C.1
D.4

答案： C

2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+px - 2 = 0 $ 的一个根为 2,则 $ p $ 的值为(C).
A.1
B.2
C.-1
D.-2

答案： C

3. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+bx + c = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_{1} = -2 $,$ x_{2} = 4 $,则 $ b + c $ 的值等于(B).
A.10
B.-10
C.-6
D.-1

答案： B

4. 已知 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-2x = 0 $ 的两个实数根,则下列结论错误的是(D).
A.$ x_{1} \neq x_{2} $
B.$ x_{1}^{2}-2x_{1} = 0 $
C.$ x_{1}+x_{2} = 2 $
D.$ x_{1}x_{2} = 2 $

答案： D

5. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+(k - 2)x + k^{2} = 0 $ 的两个根互为相反数,则 $ k = $2.

答案： 2

6. 不解方程,求一元二次方程 $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $ 的两根的平方和与倒数和.

答案： 平方和为$\frac{13}{4}$，倒数和为3.

7. 设 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的两个根,则 $ x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} = $0.

答案： 0

8. 若两数之和等于 5,两数之积等于 6,则这两个数分别是什么?

答案： 2和3.

9. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + p = 0 $ 的两个根分别为 $ x_{1} $,$ x_{2} $,且 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} = 3 $,则 $ p $ 的值为(A).
A.$ -\frac{2}{3} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.-6
D.6

答案： A

10. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(2k + 1)x+\frac{1}{2}k^{2}-2 = 0 $.
(1)求证：无论 $ k $ 为何实数,方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 满足 $ x_{1}-x_{2} = 3 $,求 $ k $ 的值.

答案：
(1)证明：$\Delta=[-(2k+1)]^{2}-4×1×\left(\frac{1}{2}k^{2}-2\right)=4k^{2}+4k+1-2k^{2}+8=2k^{2}+4k+9=2(k+1)^{2}+7$.
∵无论k为何实数，$2(k+1)^{2}\geq0$，
∴$2(k+1)^{2}+7＞0$.
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
(2)解：由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=2k+1$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}k^{2}-2$.
∵$x_{1}-x_{2}=3$，
∴$(x_{1}-x_{2})^{2}=9$，
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9$，
∴$(2k+1)^{2}-4×\left(\frac{1}{2}k^{2}-2\right)=9$，即$k^{2}+2k=0$，解得k=0或k=-2.