《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

4. 如图 4 - 3 - 4,已知四边形 $ABCD\sim$ 四边形 $A'B'C'D'$,求 $BC$,$CD$ 的长.

答案： 解：由相似多边形的对应边成比例可求出，$BC=54$，$CD=45$.

5. 已知一个矩形的长为 $20\ cm$,宽为 $10\ cm$,另一个与它相似的矩形的一边长为 $15\ cm$,则与其相邻的一边长为(C).
A.$30\ cm$
B.$7.5\ cm$
C.$30\ cm$ 或 $7.5\ cm$
D.$20\ cm$

答案： C

6. 一个五边形的边长顺次是 $1\ cm$,$2\ cm$,$3\ cm$,$4\ cm$,$5\ cm$,与其相似的另一个五边形的最大边长是 $7\ cm$,则它的最短边长是$\frac {7}{5}\ cm$.

答案： $\frac {7}{5}\ cm$

7. 如图 4 - 3 - 5,一个矩形广场的长 $AB = 120\ m$,宽 $AD = 60\ m$,广场内两条纵向的小路宽为 $a\ m$,横向的两条小路宽为 $b\ m$,矩形 $ABCD\sim$ 矩形 $EFGH$.
(1)求 $a:b$ 的值；
(2)若 $a = 4$,求矩形 $EFGH$ 的面积.

答案： 解：
(1)根据题意，得$EH=(60-2b)\ m$，$EF=(120-2a)\ m$.
$\because$矩形 ABCD∽矩形 EFGH，$\therefore \frac {EH}{AD}=\frac {EF}{AB}$.
$\therefore \frac {60-2b}{60}=\frac {120-2a}{120}$，整理得$2b=a$，$\therefore a:b=2:1$.
(2)$\because a=4$，$2b=a$，$\therefore b=2$.
$\therefore$矩形 EFGH 的面积为$EF\cdot EH=(120-2a)(60-2b)=(120-8)×(60-4)=112×56=6272(m^{2})$.
故矩形 EFGH 的面积为$6272\ m^{2}$.

8. 如图 4 - 3 - 6,将一张两边长分别为 $24\ cm$ 和 $x\ cm$ 的矩形纸片两次对折后展开,得到四个全等的小矩形,已知小矩形和原矩形都相似,求 $x$ 的值.

答案： 12

9. 书籍开本通常以整张印书纸裁开的若干等份的数目做标准来表明书刊单页面积的大小. 如图 4 - 3 - 7,将一张全张纸对折后可以得到 2 开的纸,再对折得到 4 开的纸,以此类推,可以得到 8 开的纸、16 开的纸……这些开本都是相似图形,求 16 开的纸和 32 开的纸的相似比.

答案： 解：如图，$\because$矩形 ABCD 的面积是矩形ABFE 面积的 2 倍，
$\therefore \frac {S_{矩形ABFE}}{S_{矩形ABCD}}=\frac {1}{2}$.
$\because$各种开本的矩形都相似，$\therefore \frac {AB}{AD}=\frac {AE}{AB}$.
$\therefore \frac {S_{矩形ABFE}}{S_{矩形ABCD}}=\frac {AB\cdot AE}{AD\cdot AB}=\frac {AB}{AD}\cdot \frac {AE}{AB}=(\frac {AB}{AD})^{2}=\frac {1}{2}$，
$\therefore \frac {AB}{AD}=\frac {\sqrt {2}}{2}$.
故 16 开的纸和 32 开的纸的相似比是$2:\sqrt {2}$.