《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

4. 菱形 $ABCD$ 的周长为 $8\sqrt{5}$,对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$,$AC:BD = 1:2$,则 $AO:BO = $1:2,菱形 $ABCD$ 的面积 $S = $16.

答案： 1:2 16

5. 如图 1-1-4,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,点 $D$,$E$,$F$ 分别在边 $AB$,$BC$,$AC$ 上,四边形 $ADEF$ 是菱形. 求证：$BE = CE$.

答案： 证明：
∵四边形ADEF是菱形，
∴DE=EF，AB//EF，
DE//AC.
∴∠C=∠BED，∠B=∠CEF.
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∴∠BED=∠CEF.
在△DBE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠C,\\ ∠BED=∠CEF,\\ DE=FE,\end{array}\right. $
∴△DBE≌△FCE(AAS).
∴BE=CE.

6. 如图 1-1-5,在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于点 $O$,$AB = 6$,$\angle BCD = 120^{\circ}$,则 $BD$ 的长等于(D).

A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.6
 D.$6\sqrt{3}$

答案： D

7. 如图 1-1-6, 菱形 $ABCD$ 的边长为 4,过点 $A$,$C$ 分别作对角线 $AC$ 的垂线, 交 $CB$ 和 $AD$ 的延长线于点 $E$,$F$. 若 $AE = 3$,则四边形 $AECF$ 的周长为(A).
A.22
B.18
C.14
D.11

答案： A

8. 如图 1-1-7,将菱形纸片 $ABCD$ 折叠,使点 $A$ 恰好落在菱形的对称中心 $O$ 处,折痕为 $EF$. 若菱形 $ABCD$ 的边长为 $2cm$,$\angle A = 120^{\circ}$,则 $EF = $$\sqrt {3}\ cm$.

答案： $\sqrt {3}\ cm$

9. 如图 1-1-8, $O$ 是坐标原点,菱形 $ABOC$ 的顶点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上,顶点 $C$ 的坐标为 $(3,4)$,则顶点 $A$ 的坐标为(C).

A.$(-4,2)$
B.$(-\sqrt{3},4)$
C.$(-2,4)$
 D.$(-4,\sqrt{3})$

答案： C

10. 如图 1-1-9,在菱形 $ABCD$ 中,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AB = 6$,$AC$ 是一条对角线,$E$ 是 $AC$ 上一点,过点 $E$ 作 $EF\perp AB$,垂足为点 $F$,连接 $DE$. 若 $CE = AF$,则 $DE$ 的长为____________.
$2\sqrt {7}$

答案： $2\sqrt {7}$

11. 如图 1-1-10,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,把 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转得到 $\triangle ADE$,连接 $BD$,$CE$ 交于点 $F$.
(1)求证：$\triangle AEC\cong\triangle ADB$；
(2)若 $AB = 2$,$\angle BAC = 45^{\circ}$,当四边形 $ADFC$ 是菱形时,求 $BF$ 的长.

答案：
(1)证明：
∵△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD.
在△AEC和△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AD,\\ ∠CAE=∠BAD,\\ AC=AB,\end{array}\right. $
∴△AEC≌△ADB(SAS).
(2)解：
∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°.
又由
(1)有AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45°，
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形.
∴$BD^{2}=2AB^{2}$，
∴$BD=2\sqrt {2}$.
∵四边形ADFC是菱形，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD-DF=$2\sqrt {2}-2$.