《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

2. 一元二次方程$x^{2}-4x + 5 = 0$的根的情况是(D)。
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： D

3. 下列一元二次方程有实数根的是(C)。
A.$x^{2}-x + 1 = 0$
B.$x^{2}+x + 1 = 0$
C.$(x - 1)(x + 2) = 0$
D.$(x - 1)^{2}+1 = 0$

答案： C

4. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-4x + c = 0$有两个相等的实数根,则实数$c$的值为(C)。
A.$-16$
B.$-4$
C.$4$
D.$16$

答案： C

5. 方程$x^{2}-5x + 6 = 0的根为x_{1}= $2,$x_{2}= $3。

答案： 2 3

6. 把方程$3x^{2}-8 = 7x$化为一般形式,得$3x^{2}-7x-8=0$,其中$a = $3,$b = $-7,$c = $-8,方程的根是$x=\frac{7\pm\sqrt{145}}{6}$。

答案： $3x^{2}-7x-8=0$ 3 -7 -8 $x=\frac{7\pm\sqrt{145}}{6}$

7. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}+2x - 35 = 0$；
(2)$5x^{2}-15x - 10 = 0$；
(3)$(20 + 2x)(40 - x) = 1200$；
(4)$(x - 1)(x + 1) = 2x$。

答案： 解：
(1)$x_{1}=5$，$x_{2}=-7$．
(2)$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$．
(3)$x_{1}=20$，$x_{2}=10$．
(4)$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$．

8. 若关于$x的一元二次方程(k - 1)x^{2}+2x - 2 = 0$有两个不相等的实数根,则$k$的值不可能是(C)。
A.$2$
B.$3$
C.$1$
D.$2.5$

答案： C

9. 小刚在解关于$x的方程ax^{2}+bx + c = 0$($a\neq0$)时,只抄对了$a = 1$,$b = 4$,解出一个根是$x = -1$。他核对时发现所抄的$c比原方程的c值小2$,则原方程的根的情况是(A)。
A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是$x = -1$
D.有两个相等的实数根

答案： A

10. 已知关于$x的一元二次方程(a + c)x^{2}+2bx + (a - c) = 0$,其中$a$,$b$,$c为\triangle ABC$的三边长。
(1)如果$x = -1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(3)如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根。

答案： 解：
(1)$\triangle ABC$是等腰三角形．理由如下：
把 $x=-1$ 代入方程，得 $2a-2b=0$，
∴$a=b$，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形．
(2)$\triangle ABC$是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，
∴$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形．
(3)
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$a=b=c$，
∴原方程变为 $2ax^{2}+2ax=0$．
∵$a\neq0$，
∴$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$．