《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

4. 一块菱形花圃的两对角线长分别是 6 m 和 8 m,则这块花圃的面积为24m².

答案： 24m²

5. 如图,在菱形 ABCD 中,∠B = 60°,AB = 4,则以 AC 为边的正方形 ACEF 的周长为(C).

A.14
B.15
C.16
D.17

答案： C

6. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏. 图①是翻花绳的一种图案,可以抽象成图②,在矩形 ABCD 中,若 IJ//KL,EF//GH,∠1 = ∠2 = 30°,则∠3 的度数为60°.

答案： 60°

7. 如图,点 E,F 分别是正方形 ABCD 边 CD,AD 上的点,且 CE = DF,AE,BF 相交于点 O,给出下列结论：①AE = BF；②AE ⊥ BF；③AO = OE；$④S_{△AOB} = S_{四边形DEOF}.$其中正确的有(B).

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
]

答案： B

8. 如图,菱形 ABCD 的面积为$ 120 cm^2,$正方形 AECF 的面积为$ 50 cm^2,$则菱形 ABCD 的边长为13cm.

答案： 13cm

9. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图②、图③所示的正方形,则图①中菱形的面积为12.

答案： 12

10. 如图①,四边形 ABCD 是正方形,M 是 BC 边上一点,E 是 CD 边的中点,AE 平分∠DAM.
(1)求证：AM = AD + MC.
(2)AM = DE + BM 是否成立？请说明理由.
(3)若四边形 ABCD 是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图②所示,探究(1)(2)中的结论是否成立？请分别作出判断,不需要说明理由.
]

答案：
(1)证法一:如图①,过点E作EF⊥AM,垂足为点F,连接EM.
∵AE平分∠DAM,
∴ED=EF.在Rt△AEF和Rt△AED中,$\left\{\begin{array}{l}EF=ED,\\ AE=AE,\end{array}\right.$
∴Rt△AEF≌Rt△AED(HL).
∴AF=AD.
∵E是CD边的中点,
∴ED=EC.又
∵ED=EF,
∴EF=EC.在Rt△MEF和Rt△MEC中,$\left\{\begin{array}{l}EF=EC,\\ EM=EM,\end{array}\right.$
∴Rt△MEF≌Rt△MEC(HL).
∴FM=CM.又
∵AM=AF+FM,
∴AM=AD+MC.证法二:如图②，把△ADE绕点E顺时针旋转180°,使DE和CE重合,
∴点A，E,A'在同一直线上，点M,C,A'在同一直线上,∠DAE=∠EA'C、AD=A'C.又
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EA'C=∠MAE.
∴AM=MA'又
∵MA'=MC+CA',
∴AM=AD+MC.
(2)解:AM=DE+BM成立.理由如下:如图③,把△ADE绕点A顺时针旋转90°,使AD和AB重合,
∴∠DAE=∠BAE',∠AED=∠E',DE=BE'.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∵AB//CD,
∴∠AED=∠BAE.又
∵∠BAE=∠BAM+∠MAE,
∴∠BAE=∠BAM+∠BAE'.
∴∠BAE=∠MAE'
∴∠E'=∠MAE'.
∴AM=E'M.又
∵E'M=E'B+BM,
∴AM=DE+BM.
(3)解:
(1)中结论AM=AD+MC成立,
(2)中结论AM=DE+BM不成立.