《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

4. 如图 1-1-25,分别以线段 AC 的两个端点 A,C 为圆心,大于 $\frac{1}{2}$AC 的长为半径画弧,两弧相交于 B,D 两点,连接 BD,AB,BC,CD,DA。给出以下结论：①BD 垂直平分 AC；②AC 平分∠BAD；③AC = BD；④四边形 ABCD 是中心对称图形。其中正确的有(C)。

A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④

答案： C

5. 如图 1-1-26①,动点 P 从菱形 ABCD 的点 A 出发,沿边 AB→BC 匀速运动,运动到点 C 时停止。设点 P 的运动路程为 x,PO 的长为 y,y 与 x 的函数图象如图 1-1-26②所示,当点 P 运动到 BC 中点时,PO 的长为(C)。

A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： C

6. 如图 1-1-27,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠B = 30°,将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 $n°$ 后,得到△DEC,点 D 刚好落在 AB 边上。
(1)求 n 的值；
(2)若 F 是 DE 的中点,判断四边形 ACFD 的形状,并说明理由。

答案：
(1)
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n°后，得到△DEC，
∴CD= CA .
∴△ACD是等腰三角形.
又
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°.
∴△ACD是等边三角形.
∴∠ACD=60°.
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°后，得到△DEC.
∴n=60.
(2)四边形ACFD是菱形.理由如下：
∵△ACD是等边三角形，
∴AC= CD=AD，∠ADC=60°.
又
∵∠B=30°，
∴∠DCB=30°.
∴∠DCB=∠B.
∴CD=DB.
∴CD=DB=AD= $\frac{1}{2}$AB.
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°后，得到△DEC，且F为DE的中点，
∴AB=DE，AD=FD.在△ADC与△FDC中，AD= FD，∠ADC=∠FDC，DC=DC，
∴△ADC≌△FDC(SAS)，
∴AC= FC，
∴AC=CF=DF=AD.
∴四边形ACFD是菱形.

7. 如图 1-1-28,将平行四边形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠,使点 C 与点 A 重合,点 D 落到点 $D'$ 处,折痕为 EF。
(1)求证：△ABE ≌ △AD'F；
(2)连接 CF,判断四边形 AECF 的形状,并说明理由。

答案：
(1)证明：由折叠可知∠D=∠D'，CD=AD'，∠ECD=∠D'AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，∠ECD=∠BAD.
∴∠B=∠D'，AB=AD'，∠D'AE=∠BAD，
∴∠D'AF=∠BAE，
∴△ABE≌△AD'F(ASA).
(2)解：四边形AECF是菱形.理由如下：
∵△ABE≌△AD'F，
∴AF=AE.
又
∵AE=EC，
∴AF=EC.
又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF//EC.
∴四边形AECF是平行四边形.
又
∵AE=EC，
∴四边形AECF是菱形.