《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

6. 已知点 $ C $,$ D $ 是线段 $ AB $ 的两个黄金分割点,若 $ AB = 20 cm $,则 $ CD = $$(20\sqrt{5}-40)cm$.

答案： $(20\sqrt{5}-40)cm$

7. 小明与同学们在研究如何作出一条线段 $ AB $ 的黄金分割点时给出了一种作法,如图 4 - 4 - 29.
(1)过点 $ A $ 作 $ DE \perp AB $,且 $ AE = \frac{1}{2}AB $；
(2)截取 $ ED = EB $；
(3)截取 $ AC = AD $,则点 $ C $ 就是线段 $ AB $ 的一个黄金分割点.
请说明这种作法的理由.

答案： 解：设$AB=2$，则$AE=1$，$\therefore EB=\sqrt{5}$，$ED=\sqrt{5}$.
$\therefore AC=AD=\sqrt{5}-1$.$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，且为黄金分割比.
$\therefore$点$C$是线段$AB$的一个黄金分割点.

8. 数学学习小组在研究黄金三角形(顶角为 $ 36^{\circ} $ 的等腰三角形,它的底边与腰长的比为黄金比 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $),如图 4 - 4 - 30①,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle A = 36^{\circ} $. 求证：$ \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $.
数学学习小组经过分析讨论得到了解决方法,并且作出了辅助线. 请你协助他们完成后面的证明.
证明：如图 4 - 4 - 30②,作 $ \triangle ABC $ 的角平分线 $ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ D $.

答案： 证明：作$\triangle ABC$的角平分线$BD$交$AC$于点$D$，则$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$.
$\because AB=AC$，$\angle A=36°$，$\therefore \angle ABC=\angle C=72°$.
$\therefore \angle DBC=\angle ABD=36°$.
$\therefore \angle A=\angle DBC=\angle ABD$，$\angle C=\angle C$.
$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle BDC$，$BD=AD$.
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$，$\angle ABC=\angle C=\angle BDC=72°$.
$\therefore BC^2=AC\cdot DC$，$BD=BC=AD$.
$\therefore BC^2=AB\cdot (AB-BC)$.
整理，得$BC^2+AB\cdot BC-AB^2=0$，
解得$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$或$BC=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}AB$(舍去)，
即$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.