《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

4. 如图 1 - 3 - 5,在正方形 $ABCD$ 的外侧作等边三角形 $ADE$,$AC$,$BE$ 相交于点 $F$,则 $\angle BFC$ 的度数为(C).

A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

 

答案： C

5. 如图 1 - 3 - 6,正方形 $ABCD$ 中有两个小正方形,若它们的面积分别为 $S_{1}$,$S_{2}$,则 $S_{1}$＞$S_{2}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
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答案： ＞

6. 如图 1 - 3 - 7,点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上,且 $EC = 2AE$,$Rt\triangle FEG$ 的两直角边 $EF$,$EG$ 分别交 $BC$,$DC$ 于点 $M$,$N$. 若正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$,求重叠部分四边形 $EMCN$ 的面积.
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答案：
解:如图,过点E作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°.
又
∵∠EPM=∠EQN=90°,
∴∠PEQ=90°,

∴∠PEM+∠MEQ=90°.
∵△FEG是直角三角形,
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°,
∴∠PEM=∠NEQ.
∵CA是∠BCD的平分线,∠EPC=∠EQC=90°,
∴EP=EQ,四边形PCQE是正方形.
在△EPM和△EQN中，$\left\{\begin{array}{l} ∠PEM=∠QEN,\\ EP=EQ,\\ ∠EPM=∠EQN,\end{array}\right. $
∴△EPM≌△EQN(ASA),
∴S△EPM=S△EQN,
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=$\sqrt{2}a$.
∵EC=2AE,
∴EC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$,
∴EP=PC=$\frac{2}{3}a$.
∴正方形PCQE的面积为$\frac{2}{3}a×\frac{2}{3}a=\frac{4}{9}a²$,
∴四边形EMCN的面积为$\frac{4}{9}a²$.

7. 如图 1 - 3 - 8,边长为 2 的正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$E$ 是 $BC$ 边上一点,$F$ 是 $BD$ 上一点,连接 $DE$,$EF$. 若 $\triangle DEF$ 与 $\triangle DEC$ 关于直线 $DE$ 对称,则 $\triangle BEF$ 的周长为(A).
A.$2\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$4 - 2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$

答案： A

8. 如图 1 - 3 - 9,将正方形 $OEFG$ 放在平面直角坐标系中,$O$ 是坐标原点,点 $E$ 的坐标为 $(2,3)$,则点 $F$ 的坐标为(-1,5).
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答案： (-1,5)

9. 如图 1 - 3 - 10,在边长为 4 的正方形 $ABCD$ 中,点 $E$ 为 $AB$ 边上的一点,且 $AE = 3$,点 $Q$ 为对角线 $AC$ 上的动点,则 $\triangle BEQ$ 周长的最小值为多少?
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答案：
解:如图,连接DE交AC于点Q,
连接QB，则点Q为所求的点，连接DB.
∵四边形ABCD是正方形,
∴点B与点D关于直线AC对称,
∴DE的长为BQ+QE的最小值.
∵DE=$\sqrt{AD²+AE²}=\sqrt{4²+3²}=5$,BE=AB - AE=4 - 3=1,

∴△BEQ周长的最小值为DE+BE=5 + 1=6.

10. 如图 1 - 3 - 11,正方形 $ABCD$ 的边长为 9,将正方形折叠,使顶点 $D$ 落在 $BC$ 边上的点 $E$ 处,折痕为 $GH$. 若 $BE:EC = 2:1$,则线段 $CH$ 的长为(B).

A.3
B.4
C.5
D.6
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答案： B