《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

11. 如图,$E$,$F$ 是正方形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 上的两点,$AC = 8$,$AE = CF = 2$,则四边形 $BEDF$ 的周长是$8\sqrt{5}$.

答案： $8\sqrt{5}$

12. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 5$,$AD = 12$,$P$ 是 $AD$ 边上的动点,$PE \perp AC$ 于点 $E$,$PF \perp BD$ 于点 $F$,则 $PE + PF = $$\frac{60}{13}$.

答案： $\frac{60}{13}$

13. (本题12分)如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$BE // AC$,$CE // DB$.求证：四边形 $OBEC$ 是矩形.

答案： 证明:
∵BE//AC,CE//DB,
∴四边形OBEC是平行四边形.
　　又
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠COB=90°,
∴四边形OBEC是矩形.

14. (本题12分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$CD$ 平分 $\angle ACB$,$CD$ 的垂直平分线分别交 $AC$,$DC$,$BC$ 于点 $E$,$F$,$G$,连接 $DE$,$DG$.
(1)求证：四边形 $DGCE$ 是菱形；
(2)若 $\angle ACB = 30^{\circ}$,$\angle B = 45^{\circ}$,$ED = 6$,求 $BG$ 的长.

答案：

(1)证明:
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCG.
∵EG垂直平分CD，
∴DG=CG,DE=EC.
∴∠DCG=∠GDC,∠ACD=∠EDC.
∴∠ACD=∠GDC,∠EDC=∠DCG.
∴CE//DG,DE//GC.
∴四边形DGCE是平行四边形.
　又
∵DE=EC,
∴四边形DGCE是菱形.
(2)解:如图,过点D作DH⊥BC于点H.
　　　　　
∵四边形DGCE是菱形,
∴DG=ED=6,DG//EC.
∴∠DGB=∠ACB=30°.
∵DH⊥BC,
∴DH=$\frac{1}{2}$DG=3,HG=$3\sqrt{3}$.
∵∠B=45°,DH⊥BC,
∴∠B=∠BDH=45°.
∴BH=DH=3.
∴BG=BH+HG=$3+3\sqrt{3}$.

15. (本题16分)如图,$E$,$F$ 分别是正方形 $ABCD$ 的边 $CB$,$DC$ 延长线上的点,且 $BE = CF$,过点 $E$ 作 $EG // BF$,交正方形外角的平分线 $CG$ 于点 $G$,连接 $GF$,$EA$.求证：
(1)$AE \perp BF$；
(2)四边形 $BEGF$ 是平行四边形.

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°.
∴∠ABE=∠BCF=90°.
　　在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}AB=BC,\\ ∠ABE=∠BCF,\\ BE=CF,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△BCF(SAS).
∴AE=BF,∠BAE=∠CBF.
∵EG//BF,
∴∠CBF=∠CEG.
∴∠BAE=∠CEG.
∵∠ABE=90°,
∴∠BAE+∠BEA=90°.
∴∠CEG+∠BEA=90°.
∴AE⊥EG.
∵EG//BF,
∴AE⊥BF.
(2)如图，延长AB至点P,使BP=BE，连接EP.
则AP=CE,∠EBP=90°.
∴∠P=45°.
∵CG为正方形ABCD外角的平分线，
　　　　　　　　　　　　　　
∴∠ECG=$\frac{1}{2}$∠BCF=45°.
∴∠P=∠ECG.
由
(1)得∠BAE=∠CEG
在△APE和△ECG中，$\left\{\begin{array}{l}∠P=∠ECG,\\ AP=EC,\\ ∠PAE=∠CEG,\end{array}\right.$
∴△APE≌△ECG(ASA).
∴AE=EG.
又由
(1)得AE=BF,
∴EG=BF.
∵EG//BF,
∴四边形BEGF是平行四边形