《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

1. 如图 1 - 1 - 11,两条笔直的公路 $ l_1 $,$ l_2 $ 相交于点 $ O $,村庄 $ C $ 的村民在公路的旁边建了三个加工厂 $ A $,$ B $,$ D $。已知 $ AB = BC = CD = DA = 5\ km $,村庄 $ C $ 到公路 $ l_1 $ 的距离为 $ 4\ km $,则村庄 $ C $ 到公路 $ l_2 $ 的距离是4km。

答案： 4km

2. 给出下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形。其中所有真命题的序号有①③。

答案： ①③

3. 如图 1 - 1 - 12,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ AB = 6\ cm $,$ BC = 8\ cm $。将 $ \triangle ABC $ 沿射线 $ BC $ 方向平移 $ 10\ cm $,得到 $ \triangle DEF $,$ A $,$ B $,$ C $ 的对应点分别是 $ D $,$ E $,$ F $,连接 $ AD $。求证：四边形 $ ACFD $ 是菱形。

答案： 证法一:
∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,
∴AC=10cm. 由平移变换的性质，得CF=AD=10cm,DF=AC=10cm,
∴AD=CF=AC=DF.
∴四边形ACFD是菱形.证法二:由平移变换的性质，得AD//CF，AD=CF=10cm,
∴四边形ACFD是平行四边形.
∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,
∴AC=10cm.
∴AC=CF.
∴四边形ACFD是菱形.

1. 如图 1 - 1 - 13,四边形 $ ABCD $ 的两条对角线相交于点 $ O $,且互相平分。添加下列条件,仍不能判定四边形 $ ABCD $ 为菱形的是(C)。

A.$ AC \perp BD $
B.$ AB = AD $
C.$ AC = BD $
D.$ \angle ABD = \angle CBD $

答案： C

2. 小明按如下步骤作四边形 $ ABCD $：①画 $ \angle MAN $；②以点 $ A $ 为圆心,$ 1 $ 个单位长度为半径画弧,分别交 $ AM $,$ AN $ 于点 $ B $,$ D $；③分别以点 $ B $,$ D $ 为圆心,$ 1 $ 个单位长度为半径画弧,两弧交于点 $ C $；④连接 $ BC $,$ CD $,$ BD $。所作四边形如图 1 - 1 - 14 所示。若 $ \angle A = 44^{\circ} $,则 $ \angle CBD $ 的度数等于(C)。

 A.$ 64^{\circ} $

B.$ 66^{\circ} $
C.$ 68^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $

答案： C

3. 如图 1 - 1 - 15,$ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ O $,$ AB = 10 $,$ AC = 12 $,当 $ BD = $16时,$ □ ABCD $ 是菱形。

答案： 16

4. 如图 1 - 1 - 16,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ CD $ 是斜边 $ AB $ 上的中线,$ BE // DC $ 交 $ AC $ 的延长线于点 $ E $。
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 $ \angle ECM $,使 $ \angle ECM = \angle A $,射线 $ CM $ 交 $ BE $ 于点 $ F $(保留作图痕迹,不要求写作法)；
(2)证明(1)中得到的四边形 $ CDBF $ 是菱形。

答案：

(1)解:如图所示.
(2)证明:
∵∠ECM=∠A,
∴CM//AB.
∵BE//DC,
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$AB,
∴平行四边形CDBF是菱形.