《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

8. 已知 $\triangle ABC$ 的三边长 $a$,$b$,$c$ 满足条件：$(a + 2):(b + 6):(c + 10) = 1:2:3$,且 $a + b + c = 12$,判断 $\triangle ABC$ 的形状并说明理由。

答案： 解：△ABC是直角三角形. 理由略. 提示：设$a+2=k$，则$b+6=2k$，$c+10=3k$. 由$a+b+c=12$可解得$k=5$，
∴$a=3$，$b=4$，$c=5$.
∴$a^2+b^2=c^2=25$.
∴△ABC是直角三角形.

9. 如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k(b + d + f \neq 0)$,那么 $\frac{a + c + e}{b + d + f} = k$。
推理过程如下：
$\because \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k(b + d + f \neq 0)$,
$\therefore a = bk$,$c = dk$,$e = fk$。第一步
$\therefore \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{bk + dk + fk}{b + d + f} = \frac{k(b + d + f)}{b + d + f} = k$。第二步
(1)上述过程第一步运用了比例的基本性质；第二步 $\frac{k(b + d + f)}{b + d + f} = k$ 运用了________分式的基本性质。
(2)应用思路和方法解决问题：
① 若 $\frac{2a}{5} = \frac{b}{6} = \frac{c}{7} = 2$,则 $\frac{2a + b + c}{18} = $2；
② 已知 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} \neq 0$,求 $\frac{x - y + z}{x + 2y - 3z}$ 的值。

答案：
(1)比例 分式
(2)①2 解析：
∵$\frac{2a}{5}=\frac{b}{6}=\frac{c}{7}=2$，
∴$2a=10$，$b=12$，$c=14$.
∴$\frac{2a+b+c}{18}=\frac{10+12+14}{18}=2$.②解：设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k$，则$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$.
∴$\frac{x-y+z}{x+2y-3z}=\frac{3k-4k+5k}{3k+2×4k-3×5k}=-1$.

1. 如图 4-2-1,AD//BE//CF,直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 与这三条平行线分别交于点 A,B,C 和点 D,E,F. 已知 AB = 1,BC = 3,DE = 1.2,则 DF 的长为(B)

A.3.6
B.4.8
C.5
D.5.2

答案： B

2. 如图 4-2-2,直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $,直线 AC 分别交 $ l_1 $,$ l_2 $,$ l_3 $ 于点 A,B,C；直线 DF 分别交 $ l_1 $,$ l_2 $,$ l_3 $ 于点 D,E,F. 且 AB = 3,AC = 8,则 $\frac{DE}{EF}$ 的值为(C)

A.$\frac{5}{3}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{3}{8}$

答案： C

3. 如图 4-2-3,在 △ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 上,DE//BC,下列比例式中不正确的是(C)

A.$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
B.$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
 C.$\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AD}$

D.$\frac{AD}{AE} = \frac{DB}{EC}$

答案： C