《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

5. 如图 1-2-7,在矩形纸片 $ABCD$ 中,点 $E$ 是 $AD$ 的中点,且 $AE = 1$,$BE$ 的垂直平分线 $MN$ 恰好过点 $C$,则矩形的一边 $AB$ 的长度为(C).

A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$

答案： C

6. 如图 1-2-8,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 10$,$AD = 6$,$E$ 为 $BC$ 上一点,把 $\triangle CDE$ 沿 $DE$ 折叠,使点 $C$ 落在 $AB$ 边上的 $F$ 处,则 $CE$ 的长为$\frac{10}{3}$.

答案： $\frac{10}{3}$

7. 如图 1-2-9,在矩形 $ABCD$ 中,点 $E$ 在边 $BC$ 上,将矩形沿过点 $E$ 的直线翻折后,点 $C$,$D$ 分别落在边 $BC$ 下方的点 $C'$,$D'$ 处,且点 $C'$,$D'$,$B$ 在同一条直线上,连接 $BD'$,折痕与边 $AD$ 交于点 $F$,$D'F$ 与 $BE$ 交于点 $G$. 若 $\angle EBC' = 30^{\circ}$,判断 $\triangle EFG$ 的形状并说明理由.

答案： 解：△EFG是等边三角形. 理由如下：由折叠可知∠FD'C'=∠D=90°.
∵点C'，D'，B在同一条直线上，
∴∠BD'G=90°.
∵∠EBC'=30°，
∴∠BGD'=60°.
∴∠FGE=60°.
∵AD//BC，
∴∠GFD=120°.由折叠可知∠GFE=$\frac{1}{2}$∠GFD=60°.
∴△EFG是等边三角形.

1. 如图 1 - 2 - 10,四边形 $ABCD$ 的对角线互相平分,要使它变为矩形,可以添加的条件是(D).

A.$AB = CD$
B.$AD = BC$
C.$AB = BC$
D.$AC = BD$

答案： D

2. 如图 1 - 2 - 11,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = CD$,$AD = BC$,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,且 $OA = OD$.求证：四边形 $ABCD$ 是矩形.

答案： 证明：
∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC=2AO，BD=2OD.
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.