《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

5. 如图 4 - 7 - 16,在等腰三角形 $ABC$ 中,$AB = AC$,图中所有三角形均相似,其中几个最小的三角形的面积均为 $1$,$\triangle ABC$ 的面积为 $44$,则四边形 $DBCE$ 的面积是(D).

A.$22$
B.$24$
C.$26$
D.$28$

答案： D

6. 如图 4 - 7 - 17,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 2\sqrt{3}$,$AD = 10$,三角尺的直角顶点 $P$ 在 $AD$ 上滑动(点 $P$ 不与 $A$,$D$ 重合),且一直角边经过点 $C$,另一直角边与直线 $AB$ 交于点 $E$,易得 $Rt\triangle AEP\backsim Rt\triangle DPC$.
(1)当 $\angle CPD = 30^{\circ}$ 时,求 $AE$ 的长.
(2)是否存在这样的点 $P$,使 $\triangle DPC$ 的周长等于 $\triangle AEP$ 周长的 $2$ 倍？若存在,求出 $DP$ 的长；若不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1)
∵∠CPD+∠APE=90°,∠AEP+∠APE=90°,
∴∠CPD=∠AEP.
　当∠CPD=30°时,∠AEP=30°.
　在Rt△CPD中,CD=AB=2$\sqrt{3}$,∠CPD=30°.
∴PD=6,
∴AP=AD - PD=10 - 6=4.
　在Rt△APE中,AP=4,∠AEP=30°,
∴PE=8,
∴AE=4$\sqrt{3}$.
(2)存在，DP的长为10 - $\sqrt{3}$.理由如下:
　假设存在这样的点P.
∵Rt△AEP∽Rt△DPC,
∴$\frac{CD}{AP}=\frac{PD}{AE}=\frac{PC}{PE}=2$.
∵CD=AB=2$\sqrt{3}$,
∴AP=$\sqrt{3}$,
∴DP=10 - $\sqrt{3}$.
∴存在这样的点P,使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍,DP的长为10 - $\sqrt{3}$.

7. 如图 4 - 7 - 18,已知矩形纸片 $ABCD$,$AB = 2$,$BC = 3$.
操作：将矩形纸片沿 $EF$ 折叠,使点 $B$ 落在边 $CD$ 上.
探究：
(1)如图 4 - 7 - 18①,若点 $B$ 与点 $D$ 重合,你认为 $\triangle EDA_{1}$ 和 $\triangle FDC$ 全等吗？请说明理由.
(2)如图 4 - 7 - 18②,若点 $B$ 与 $CD$ 的中点 $B_{1}$ 重合,求 $\triangle FCB_{1}$ 和 $\triangle B_{1}DG$ 的周长之比.

答案： 解:
(1)全等.理由如下:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,AB=CD.
　由题意,知∠A=∠A₁,∠B=∠A₁DF=90°,AB=A₁D,
∴∠A₁=∠C=90°,A₁D=CD.
　又
∵∠A₁DE+∠EDF=90°,∠CDF+∠EDF=90°,
∴∠A₁DE=∠CDF.
　在△EDA₁与△FDC中,
　$\left\{\begin{array}{l}∠A₁=∠C,\\A₁D=CD,\\∠A₁DE=∠CDF,\end{array}\right.$
∴△EDA₁≌△FDC(ASA).
(2)
∵∠DGB₁+∠DB₁G=90°,∠DB₁G+∠CB₁F=90°,
∴∠DGB₁=∠CB₁F.
　又
∵∠D=∠C=90°,
∴△B₁DG∽△FCB₁.
　设FC=x,则B₁F=3 - x,B₁C=B₁D=$\frac{1}{2}$DC=1.
　在Rt△B₁CF中,FC²+B₁C²=B₁F²,
∴x²+1²=(3 - x)²,
∴x=$\frac{4}{3}$.
　又
∵△FCB₁∽△B₁DG,
∴$\frac{C_{△FCB₁}}{C_{△B₁DG}}=\frac{FC}{B₁D}=\frac{4}{3}$.