《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

1. 点 $ C $ 把线段 $ AB $ 分成两条线段 $ AC $ 和 $ BC $,如果 $ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AC} $,那么称线段 $ AB $ 被点 $ C $ 黄金分割,$ AC $ 与 $ AB $ 的比叫做黄金比,其比值是(A).
A.$ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $
B.$ \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{5} + 1}{2} $
D.$ \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $

答案： A

2. 已知点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点,$ AC ＞ BC $,$ AB = 2 $,则 $ AC $ 的长为$\sqrt{5}-1$.

答案： $\sqrt{5}-1$

3. 大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”. 如图 4 - 4 - 25,$ P $ 为 $ AB $ 的黄金分割点$(AP ＞ PB)$,如果 $ AB $ 的长度为 $ 8 cm $,那么 $ AP $ 的长为$(4\sqrt{5}-4)cm$.

答案： $(4\sqrt{5}-4)cm$

1. 若点 $ C $ 是 $ AB $ 的黄金分割点,且 $ AC ＞ BC $,则下列等式成立的是(C).
A.$ AB^{2} = AC \cdot BC $
B.$ BC^{2} = AC \cdot AB $
C.$ AC^{2} = BC \cdot AB $
D.$ BC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB $

答案： C

2. 在图 4 - 4 - 26①中,$ AB = 2 $,点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,且满足 $ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AC} $. 如图 4 - 4 - 26②,以图 4 - 4 - 26①中的 $ AC $,$ BC $ 为邻边构建矩形 $ ACBF $,以 $ CB $ 长为边构建正方形 $ CBDE $,则矩形 $ AEDF $ 的面积为(C).

A.$ 14 - 6\sqrt{5} $
B.$ 4\sqrt{5} - 8 $
C.$ 10\sqrt{5} - 22 $
D.$ 10\sqrt{5} - 20 $

答案： C

3. 如图 4 - 4 - 27,某品牌汽车为了打造更加精美的外观,特将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置,若车头与倒车镜的水平距离为 $ 1.58 m $,则该车车身总长约为4.14 m.(结果精确到 $ 0.01 m $)

答案： 4.14 m

4. 某公司生产了一种新型手杖,长为 $ 1.2 m $,现要在其黄金分割点的位置安放一个小装饰品,则手柄与小饰品的距离约为0.46 m.(装饰品离手杖的上端较近,结果精确到 $ 0.01 m $)

答案： 0.46 m

5. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例. 如图 4 - 4 - 28,$ P $ 是 $ AB $ 的黄金分割点$(AP ＞ BP)$,若线段 $ AB $ 的长为 $ 4 cm $,则 $ AP $ 的长为(A).

A.$ 2\sqrt{5} - 2 $
B.$ 2\sqrt{5} + 1 $
C.$ 6 - 2\sqrt{5} $
D.$ 2\sqrt{5} - 1 $

答案： A