《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

5. 在 Rt△ACB 中,∠C= 90°,AC= 4 cm,BC= 3 cm,点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为 1 cm/s；点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,速度为 2 cm/s；连接 PQ. 若设运动的时间为 t(s)(0＜t＜2),当 t= $\frac{10}{7}$s或$\frac{25}{13}$s时,以 A,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似.

答案： $\frac{10}{7}$s或$\frac{25}{13}$s

6. 如图 4-4-8,四边形 ABCD 为平行四边形,点 E 为边 AD 上一点,连接 AC,BE,相交于点 F,且∠ACB= ∠ABE.
(1)求证：$AE^2= EF·BE；$
(2)若 AE= 2,EF= 1,CF= 4,求 AB 的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠DAC=∠ACB.
∵∠ACB=∠ABE,
∴∠DAC=∠ABE.
∵∠EAF=∠EBA,∠AEF=∠BEA,
∴△EAF∽△EBA,
∴EA:EB=EF:EA.
∴$AE^2=EF·BE$.
(2)解:
∵$AE^2=EF·BE$，
∴BE=$\frac{2^2}{1}$=4,
∴BF=BE−EF=4−1=3.
∵AE//BC,
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{EF}{BF}$,
　　即$\frac{AF}{4}$=$\frac{1}{3}$,解得AF=$\frac{4}{3}$.
∵△EAF∽△EBA,
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{EF}{AE}$,即$\frac{\frac{4}{3}}{AB}$=$\frac{1}{2}$,
∴AB=$\frac{8}{3}$.

7. 如图 4-4-9,已知正方形 ABCD 的边长为 3,点 E 是 CD 上一点,连接 BE 交 AC 于点 F.
(1)如图①,若 CE= 1,求 CF 的值.
(2)如图①,$\frac{CE}{ED}= m$,若 $S_{△CBF}= \frac{3}{2}$,求 m 的值.
(3)如图②,点 G 为 BC 上一点,且满足∠GAC= ∠EBC. 设 CE= x,GB= y,试探究 y 与 x 之间的函数关系并写出 x 的取值范围.

答案：
(1)根据题意,得AB//CE,AB=BC=3.
∴△CEF∽△ABF,AC= $\sqrt{AB^2+BC^2}$=3$\sqrt{2}$
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{CF}{AF}$,即$\frac{1}{3}$=$\frac{CF}{3\sqrt{2}−CF}$,解得CF=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$.
(2)
∵$\frac{CE}{ED}$=m,
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{m}{m+1}$.
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{m}{m+1}$.
由
(1),得$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AB}$=$\frac{m}{m+1}$.
∴$\frac{S_{\triangle CBF}}{S_{\triangle ABF}}$=$\frac{m}{m+1}$.
∴$\frac{S_{\triangle CBF}}{S_{\triangle ABC}}$=$\frac{m}{2m+1}$.
∵$S_{\triangle ABC}$=$\frac{1}{2}$AB·BC=$\frac{9}{2}$,$S_{\triangle CBF}$=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{m}{2m+1}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{1}{3}$,解得m=1.
(3)由
(1),得$\frac{CE}{AB}$=$\frac{CF}{AF}$,
即$\frac{x}{3}$=$\frac{CF}{3\sqrt{2}−CF}$,解得CF=$\frac{3\sqrt{2}x}{3+x}$.
∵∠GAC=∠EBC,∠ACG=∠BCF,
∴△ACG∽△BCF.
∴$\frac{CG}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$,即$\frac{3−y}{CF}$=$\sqrt{2}$.
∴$\frac{3−y}{\frac{3\sqrt{2}x}{3+x}}$=$\sqrt{2}$.整理得y=$\frac{9−3x}{3+x}$.
∵y≥0,
∴9−3x≥0,x≤3.
又x≥0,
∴0≤x≤3,
∴y=$\frac{9−3x}{3+x}$(0≤x≤3).