《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

5. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上,某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端,利用图 4 - 7 - 6①的方法折出一个正方形$ABEF$,然后把纸片展平；
第二步：将图 4 - 7 - 6①中的矩形纸片折叠,使点$C恰好落在点F$处,得到折痕$MN$,如图 4 - 7 - 6②.
根据以上的操作,若$AB = 8$,$AD = 12$,则线段$BM$的长为2.

答案： 2

6. 如图 4 - 7 - 7,$\triangle ABC$是一块锐角三角形材料,边$BC = 120\mathrm{mm}$,高$AD = 80\mathrm{mm}$.如果按如图所示的方式加工成$n$个小正方形零件,则每个小正方形零件的边长是$\frac{240}{2n+3}$mm.(用含$n$的式子表示)

答案： $\frac{240}{2n+3}$mm

7. 如图 4 - 7 - 8,在$\triangle ABC$中,$BC = 120$,高$AD = 60$,正方形$EFGH一边在BC$上,点$E$,$F分别在AB$,$AC$上,$AD交EF于点N$,求$AN$的长.

答案： 解:
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF//BC.
∴∠AEF=∠ABD,∠AFE=∠ACB,
∴△AEF∽△ABC.
∵AD⊥BC,
∴AN是△AEF的边EF上的高.
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AN}{AD}$.
　设AN=x,则EF=FG=DN=60−x.
　由$\frac{60−x}{120}$=$\frac{x}{60}$得x=20.
∴AN=20.

8. 如图 4 - 7 - 9①,在等边三角形$ABC$中,$AD$为其内角平分线,过点$D的直线B_1C_1\perp AC于点C_1$,交$AB的延长线于点B_1$.
(1)请探究：$\frac{AC}{AB}= \frac{CD}{DB}$,$\frac{AC_1}{AB_1}= \frac{C_1D}{DB_1}$是否成立？
(2)请继续探究：若$\triangle ABC$为任意三角形,$AD$为其内角平分线,$\frac{AC}{AB}= \frac{CD}{DB}$一定成立吗？请说明理由.
(3)如图 4 - 7 - 9②,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$AB = \frac{40}{3}$,$E为AB$上一点,且$AE = 5$,$CE交其内角平分线AD于点F$,试求$\frac{DF}{FA}$的值.

答案：

(1)$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}$，$\frac{AC_1}{AB_1}=\frac{C_1D}{DB_1}$均成立.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB.
　又
∵AD为△ABC的内角平分线,
∴CD=DB.
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}$.
　如图①,过点D作DE⊥AB于点E.

∵$B_1C_1⊥AC$，
∴∠$AC_1B_1$=∠$DEB_1$=90°.
∴DE//$C_1B_1$.
　又
∵∠$B_1$=∠$B_1$，
∴△$AC_1B_1$∽△$DEB_1$.
∴$\frac{AC_1}{DE}=\frac{AB_1}{DB_1}$.
　又
∵DE//$C_1B_1$，$DC_1$⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=$DC_1$.
∴$\frac{AC_1}{DC_1}=\frac{AB_1}{DB_1}$，即$\frac{AC_1}{AB_1}=\frac{C_1D}{DB_1}$.
(2)一定成立.理由如下:
　如图②，△ABC为任意三角形，过点B作BE//AC交AD的延长线于点E,
∴∠E=∠CAD=∠BAD,
∴EB=AB.
　又
∵△ACD∽△EBD,
∴$\frac{AC}{EB}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$.

(3)如图③,过点D作DM⊥AB于点M,作DN//AB交AC于点N，交CE于点O,
∴∠DMB=90°.
　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=$\frac{40}{3}$,
∴BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}=\frac{32}{3}$.
　又
∵AD平分∠CAB,DM⊥AB,∠ACB=90°,
∴CD=DM,AC=AM.
∴BM=$\frac{16}{3}$.
　设DM=x,则DB=$\frac{32}{3}-x$.
∵∠DMB=90°,
∴$DM^2 + BM^2 = DB^2$，解得x=4.
　又
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB.
　又
∵DN//AB,
∴∠NDA=∠DAB.
∴∠NDA=∠CAD.
∴AN=DN.
　又
∵∠ACB=90°,
∴$CN^2 + CD^2 = DN^2$.
　设CN=y,则DN=8 - y.
∵CD=4,
∴$y^2 + 4^2 = (8 - y)^2$，解得y=3.
∴CN=3,DN=5.
　又
∵△CNO∽△CAE,
∴$\frac{NO}{AE}=\frac{NC}{AC}=\frac{3}{8}$,
　解得NO=$\frac{15}{8}$.
∴DO=DN - NO=$\frac{25}{8}$.
　又
∵△DOF∽△AEF,
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{DO}{AE}=\frac{\frac{25}{8}}{5}=\frac{5}{8}$.