《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

5. 如图 1 - 1 - 17,将 $ \triangle ABC $ 沿 $ BC $ 方向平移得到 $ \triangle DCE $,连接 $ AD $,下列条件能够判定四边形 $ ACED $ 为菱形的是(B)。

A.$ AB = BC $
B.$ AC = BC $
C.$ \angle B = 60^{\circ} $
D.$ \angle ACB = 60^{\circ} $

答案： B

6. 如图 1 - 1 - 18,在 $ □ ABCD $ 中,点 $ F $ 在边 $ AD $ 上,$ AB = AF $,连接 $ BF $,点 $ O $ 为 $ BF $ 的中点,$ AO $ 的延长线交边 $ BC $ 于点 $ E $,连接 $ EF $。
(1)求证：四边形 $ ABEF $ 是菱形；
(2)若 $ □ ABCD $ 的周长为 $ 22 $,$ CE = 1 $,$ \angle BAD = 120^{\circ} $,求 $ AE $ 的长。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,即AF//BE,
∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA.
∵O为BF的中点,
∴BO=FO,
∴△AOF≌△EOB(AAS),
∴BE=FA,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形.
(2)解:
∵AD=BC,AF=BE,
∴DF=CE=1.
∵▱ABCD的周长为22,
∴菱形ABEF的周长为22 - 2=20,
∴AB=20÷4=5.
∵四边形ABEF是菱形,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×120°=60°.又AB=BE,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=5.

7. 如图 1 - 1 - 19,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 是 $ BC $ 边的中点,点 $ E $,$ F $ 分别在边 $ AD $ 及其延长线上,且 $ DE = DF $,给出下列条件：① $ BE \perp EC $；② $ BF // CE $；③ $ AB = AC $。从中选择一个条件使四边形 $ BECF $ 是菱形,这个条件是③。(只填序号)

答案： ③

8. 如图 1 - 1 - 20 ①,$ \triangle ABC $ 为等腰三角形,$ AB = AC = a $,点 $ P $ 是边 $ BC $ 上的一个动点,$ PD // AC $,$ PE // AB $。
(1)四边形 $ ADPE $ 的周长为______(用含 $ a $ 的式子表示)。
(2)当点 $ P $ 运动到什么位置时,四边形 $ ADPE $ 是菱形？请说明理由。
(3)如果 $ \triangle ABC $ 不是等腰三角形(如图 1 - 1 - 20 ②),其他条件不变,那么当点 $ P $ 运动到什么位置时,四边形 $ ADPE $ 是菱形？请说明理由。

答案：

(1)2a
(2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形.理由如下:连接AP.
∵PD//AC,PE//AB,
∴四边形ADPE是平行四边形.
∵AB=AC,P为BC的中点,
∴∠PAD=∠PAE.
∵PE//AB,
∴∠PAD=∠APE.
∴∠PAE=∠APE.
∴EA=EP.
∴四边形ADPE是菱形.
(3)如图，当点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形. 理由如下：
∵PD//AC,PE//AB,
∴四边形ADPE是平行四边形.
∵AP平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∵AB//EP,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴AE=EP.
∴四边形ADPE是菱形.