《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

1. 把方程$-2x^{2}-4x + 1 = 0化为(x + m)^{2}+n = 0$的形式,正确的是(C).
A.$-(x + 1)^{2}-1 = 0$
B.$(x - 1)^{2}-3 = 0$
C.$(x + 1)^{2}-\frac{3}{2}= 0$
D.$(2x + 1)^{2}-\frac{3}{2}= 0$

答案： C

2. 用配方法解下列方程：
(1)$2x^{2}+8x + 7 = 0$； (2)$3x^{2}-6x + 2 = 0$.

答案： 解：
(1)$x_{1}=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)$x_{1}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1. 将二次三项式$2x^{2}-4x + 6$进行配方,结果正确的是(B).
A.$2(x - 1)^{2}-4$
B.$2(x - 1)^{2}+4$
C.$2(x - 2)^{2}-2$
D.$2(x - 2)^{2}+2$

答案： B

2. 将方程$3x^{2}+2x - 1 = 0$配方成$(x + $$\frac{1}{3}$$)^{2}=$$\frac{4}{9}$,从而求得此方程的根是$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=-1$.

答案： $\frac{1}{3}$ $\frac{4}{9}$ $x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=-1$

3. 已知两个连续正整数的平方和等于 313,则这两个正整数是12，13.

答案： 12，13

4. 用配方法解下列方程时,变形错误的是(C).
A.$x^{2}-2x - 80 = 0$,化为$(x - 1)^{2}= 81$
B.$x^{2}-5x - 3 = 0$,化为$(x-\frac{5}{2})^{2}= \frac{37}{4}$
C.$t^{2}+8t + 9 = 0$,化为$(t + 4)^{2}= 25$
D.$3t^{2}+4t - 2 = 0$,化为$(t+\frac{2}{3})^{2}= \frac{10}{9}$

答案： C

5. 已知$xy = 9$,$x - y = -3$,则$x^{2}+3xy + y^{2}$的值为(C).
A.27
B.9
C.54
D.18

答案： C

6. 下面是小明用配方法解一元二次方程$2x^{2}+4x - 8 = 0$的过程,请阅读并解答问题.
|解：移项,得$2x^{2}+4x = 8$.|第一步|
|二次项系数化为 1,得$x^{2}+2x = 4$.|第二步|
|配方,得$(x + 2)^{2}= 8$.|第三步|
|由此可得$x + 2= \pm2\sqrt{2}$.|第四步|
|所以,$x_{1}= -2 + 2\sqrt{2}$,$x_{2}= -2 - 2\sqrt{2}$.|第五步|
(1)解答过程从第三步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的解答过程.
解：移项，得$2x^{2}+4x=8$.二次项系数化为1，得$x^{2}+2x=4$.配方，得$(x+1)^{2}=5$，两边开平方，得$x+1=\pm \sqrt{5}$.所以，$x_{1}=-1+\sqrt{5}$，$x_{2}=-1-\sqrt{5}$.

答案： 解：
(1)三
(2)移项，得$2x^{2}+4x=8$.二次项系数化为1，得$x^{2}+2x=4$.配方，得$(x+1)^{2}=5$，两边开平方，得$x+1=\pm \sqrt{5}$.所以，$x_{1}=-1+\sqrt{5}$，$x_{2}=-1-\sqrt{5}$.

7. 阅读下面材料,完成相应的任务.
配方法是数学中重要的一种思想方法. 它是将一个式子或等式通过恒等变形化为一个或多个完全平方式和的形式,根据“如果实数$a$,$b满足a^{2}+b^{2}= 0$,那么$a = b = 0$”解决问题. 如：已知$m^{2}-2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$,求$m$,$n$的值.
解：$\because m^{2}-2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$,
$\therefore (m^{2}-2mn + n^{2})+(n^{2}-6n + 9)= 0$,
即$(m - n)^{2}+(n - 3)^{2}= 0$.
$\therefore (m - n)^{2}= 0$,$(n - 3)^{2}= 0$.
$\therefore m = n$,$n = 3$,$\therefore m = 3$,$n = 3$.
(1)【类比尝试】
若$x^{2}+y^{2}+8x - 2y + 17 = 0$,求$x + 3y$的值；
(2)【灵活运用】
如果$a$,$b$,$c$,$d$都是实数,且$a^{2}d^{2}+b^{2}(d^{2}+1)+c^{2}+2b(a + c)d = 0$,求证：$b^{2}= ac$.

答案：
(1)解：原式整理，得$(x^{2}+8x+16)+(y^{2}-2y+1)=0$，$\therefore (x+4)^{2}+(y-1)^{2}=0$.$\therefore (x+4)^{2}=0$，$(y-1)^{2}=0$，$\therefore x=-4$，$y=1$.$\therefore x+3y=-4+3× 1=-1$.
(2)证明：原式整理，得$(a^{2}d^{2}+2abd+b^{2})+(b^{2}d^{2}+2bcd+c^{2})=0$.$\therefore (ad+b)^{2}+(bd+c)^{2}=0$.$\therefore ad+b=0$，$bd+c=0$.①在$ad+b=0$中，当$a=0$时，$b=0$.由$bd+c=0$，得$c=0$.所以$b^{2}=ac$.②在$ad+b=0$中，当$a\neq 0$时，$d=-\frac{b}{a}$.代入$bd+c=0$，得$-\frac{b^{2}}{a}+c=0$.整理，得$b^{2}=ac$.综上所述，$b^{2}=ac$.