《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

11.(本题14分)如图,王华晚上从路灯$A下的B处走到C$处时,测得影子$CD$的长为1 m,继续往前走3 m到达$E$处时,测得影子的长为2 m. 已知王华的身高为1.5 m.
(1)求路灯$A$的高度；
(2)当王华再向前走2 m,到达$F$处时,他的影子的长是多少？

答案： 解:
(1)显然$AB\perp BF$，$MC\perp BD$，$NE\perp BF$，$\therefore AB// MC// NE$.$\therefore \triangle CDM\backsim \triangle BDA$，$\triangle EFN\backsim \triangle BFA$，$\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{MC}{AB}$，$\frac{EF}{BF}=\frac{NE}{AB}$，$\because MC=1.5\ m$，$CD=1\ m$，$EF=2\ m$，$\therefore \frac{1}{BC+1}=\frac{1.5}{AB}$，$\frac{2}{BC+3+2}=\frac{1.5}{AB}$，$\therefore AB=6\ m$.故路灯$A$的高度为$6\ m$.
(2)由
(1)知$\frac{EF}{BF}=\frac{NE}{AB}$，$AB=6\ m$，$\because EF=2\ m$，$NE=1.5\ m$，$\therefore \frac{2}{BF}=\frac{1.5}{6}$，$\therefore BF=8\ m$.设王华的影长为$x\ m$，则$\frac{x}{8+x}=\frac{1.5}{6}$，解得$x=\frac{8}{3}$.故当王华再向前走$2\ m$，到达$F$处时，他的影子的长是$\frac{8}{3}\ m$.

12.(本题16分)从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图①,在$\triangle ABC$中,$CD为\triangle ABC$的角平分线,$\angle A = 50^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,求证：$CD为\triangle ABC$的完美分割线；
(2)在$\triangle ABC$中,$\angle A = 48^{\circ}$,$CD是\triangle ABC$的完美分割线,且$\triangle ACD$为等腰三角形,求$\angle ACB$的度数；
(3)如图②,在$\triangle ABC$中,$AC = 2$,$BC = \sqrt{3}$,$CD是\triangle ABC$的完美分割线,且$\triangle ACD是以CD$为底边的等腰三角形,求完美分割线$CD$的长.

答案：
12.
(1)证明:$\because \angle A=50^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，$\therefore \angle ACB=100^{\circ}$，$\therefore \triangle ABC$不是等腰三角形， $\because CD$平分$\angle ACB$，$\therefore \angle ACD=\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB=50^{\circ}$.$\therefore \angle ACD=\angle A=50^{\circ}$，$\therefore \triangle ACD$为等腰三角形.$\because \angle DCB=\angle A=50^{\circ}$，$\angle CBD=\angle ABC$，$\therefore \triangle BCD\backsim \triangle BAC$.$\therefore CD$是$\triangle ABC$的完美分割线.
(2)①当$AD=CD$时，如图①，$\angle ACD=\angle A=48^{\circ}$.$\because \triangle BDC\backsim \triangle BCA$，$\therefore \angle BCD=\angle A=48^{\circ}$，$\therefore \angle ACB=\angle ACD+\angle BCD=96^{\circ}$.②当$AD=AC$时，如图②，$\angle ACD=\angle ADC=\frac{180^{\circ}-48^{\circ}}{2}=66^{\circ}$.$\because \triangle BDC\backsim \triangle BCA$，$\therefore \angle BCD=\angle A=48^{\circ}$.$\therefore \angle ACB=\angle ACD+\angle BCD=114^{\circ}$.③当$AC=CD$时，如图③，$\angle ADC=\angle A=48^{\circ}$. $\because \angle ADC＞\angle BCD$，矛盾，故舍弃.综上所述，$\angle ACB=96^{\circ}$或$\angle ACB=114^{\circ}$.
(3)由已知，得$AC=AD=2$.$\because \triangle BCD\backsim \triangle BAC$，$\therefore \frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$.设$BD=x$，则$(\sqrt{3})^{2}=x(x+2)$.$\because x＞0$，$\therefore x=1$.$\because \triangle BCD\backsim \triangle BAC$，$\therefore \frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{CD}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.$\therefore CD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

13.(本题16分)(1)某学校的数学社团遇到这样一个题目：
如图①,在$\triangle ABC$中,点$O在线段BC$上,$\angle BAO = 30^{\circ}$,$\angle OAC = 75^{\circ}$,$AO = 3\sqrt{3}$,$BO:CO = 1:3$,求$AB$的长.
经过社团成员讨论发现,过点$B作BD // AC$,交$AO的延长线于点D$,通过构造$\triangle ABD$就可以解决问题(如图②).
请回答：$\angle ADB = $______,$AB = $______.
(2)请参考以上解题思路,解决问题：
如图③,在四边形$ABCD$中,对角线$AC与BD相交于点O$,$AC \perp AD$,$AO = 3\sqrt{3}$,$\angle ABC = \angle ACB = 75^{\circ}$,$BO:OD = 1:3$,求$CD$的长.

答案：
13.解:
(1)$75^{\circ}$ $4\sqrt{3}$
(2)如图，过点$B$作$BE// AD$交$AC$于点$E$.$\because AC\perp AD$，$BE// AD$，$\therefore \angle DAC=\angle BEA=90^{\circ}$.$\because \angle AOD=\angle EOB$， $\therefore \triangle AOD\backsim \triangle EOB$.$\therefore \frac{BO}{DO}=\frac{EO}{AO}=\frac{BE}{DA}$.$\because BO:OD=1:3$，$\therefore \frac{EO}{AO}=\frac{BE}{DA}=\frac{1}{3}$.$\because AO=3\sqrt{3}$，$\therefore EO=\sqrt{3}$，$\therefore AE=4\sqrt{3}$.$\because \angle ABC=\angle ACB=75^{\circ}$，$\therefore \angle BAC=30^{\circ}$，$AB=AC$，$\therefore AB=2BE$.在$Rt\triangle AEB$中，$AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}$，即$(4\sqrt{3})^{2}+BE^{2}=(2BE)^{2}$，解得$BE=4$，$\therefore AB=AC=8$，$AD=3BE=12$.在$Rt\triangle CAD$中，$AC^{2}+AD^{2}=CD^{2}$，即$8^{2}+12^{2}=CD^{2}$，解得$CD=4\sqrt{13}$.