《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

1. 下列命题正确的是(A)。
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.四条边相等的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D.对角线相等的四边形是矩形

答案： A

2. 如图1-2-16,将矩形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处。若∠BAF= 60°,则∠DAE等于(A)。

A.15°
B.30°
C.45°
D.60°

答案： A

3. 如图1-2-17,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E。若∠EAC= 2∠CAD,求∠BAE的度数。

答案： 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA.
∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD.
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE.
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}{2}=67.5^{\circ}$.
∴∠BAE=∠OAB-∠OAE=22.5°.

1. 在▱ABCD中,AB= 3,BC= 4,当对角线AC的长为5时,▱ABCD为矩形。

答案： 5

2. 如图1-2-18,BD是矩形ABCD的一条对角线。
(1)作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,垂足为点O(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)；
(2)求证：DE= BF。

答案：

(1)解：如图，垂直平分线EF即为所求.
(2)证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC.
∴∠ADB=∠CBD.
∵EF垂直平分BD，
∴BO=DO.
在△DEO和△BFO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CBD,\\DO=BO,\\∠DOE=∠BOF,\end{array}\right.$

∴△DEO≌△BFO(ASA).
∴DE=BF.

3. 如图1-2-19,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE,过点C作CF//BD交OE的延长线于点F,连接DF。求证：
(1)△ODE≌△FCE；
(2)四边形ODFC是菱形。

答案： 证明：
(1)
∵CF//BD，
∴∠EDO=∠ECF，∠EOD=∠EFC.
又
∵E是CD的中点，
∴DE=CE.
∴△ODE≌△FCE(AAS).
(2)
∵△ODE≌△FCE，
∴EO=EF.
又
∵CE=DE，
∴四边形ODFC是平行四边形.
又
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD.
∴四边形ODFC是菱形.