《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

8.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AC= 8,AB= 10,OD⊥BC于点D,则BD的长为___3.

答案： $\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle C = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 8$，$AB = 10$，
根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$。
$\because OD\perp BC$，$\angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore OD// AC$（垂直于同一条直线的两直线平行）。
又$\because O$是$AB$的中点，
$\therefore D$是$BC$的中点（三角形中位线定理的逆定理），
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC = 3$。
故答案为$3$。

9.如图,BD是⊙O的直径,点A,C在⊙O上,且$\overset{\frown}{AB}$= $\overset{\frown}{AD}$,连接AB,AD,AC,AC交BD于点G.若∠COD= 130°,则∠AGB的度数为___110°.

答案：
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BOD=180°（直径所对圆心角为平角）。
∵∠COD=130°，
∴∠BOC=∠BOD-∠COD=180°-130°=50°，故弧BC=50°（圆心角的度数等于所对弧的度数）。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，BD为直径（弧BD=180°），
∴弧AB=弧AD=$\frac{180°}{2}=90°$（等弧分半圆）。
∠ABD是弧AD所对圆周角，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$弧AD=$\frac{1}{2}×90°=45°$（圆周角定理）。
∠BAC是弧BC所对圆周角，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$弧BC=$\frac{1}{2}×50°=25°$（圆周角定理）。
在△AGB中，∠AGB=180°-∠BAC-∠ABD=180°-25°-45°=110°。
110°

10.如图,AB,CD是⊙O的两条弦,⊙O的半径为r,AB= r,CD= $\sqrt{2}$r,连接AC,BD交于点H,则∠BHC的度数为___105°.

答案： 连接OA、OB、OC、OD。
∵OA=OB=OC=OD=r，AB=r，
∴△OAB为等边三角形，∠AOB=60°，故弧AB的度数为60°。
∵CD=√2 r，OC=OD=r，OC²+OD²=r²+r²=2r²=CD²，
∴△OCD为等腰直角三角形，∠COD=90°，故弧CD的度数为90°。
AC与BD交于H，由圆内角定理：两弦相交于圆内，交角等于所夹两弧度数和的一半。
∠AHB所夹弧为AB和CD，
∴∠AHB=1/2(弧AB度数+弧CD度数)=1/2(60°+90°)=75°。
∵∠AHB+∠BHC=180°（邻补角），
∴∠BHC=180°-75°=105°。
105°

11.如图是由边长相等的小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,⊙O经过格点A,B,C,请仅用无刻度的直尺作图,作出该圆的圆心O,并在圆上找一点D,使∠ABD= 45°.(画图过程用虚线,画图结果用实线)

答案： 1. 连接AB、AC（虚线）；
2. 分别作AB、AC的垂直平分线（虚线）：
找AB中点M（格点中点），过M作AB的垂线（利用网格垂直关系）；
找AC中点N（格点中点），过N作AC的垂线（利用网格垂直关系）；
3. 两垂直平分线交点为圆心O（实线标出O）；
4. 过点B沿网格对角线方向（45°）作直线（虚线），与⊙O交于点D（实线标出D）。
（注：作图过程中所有辅助线用虚线，圆心O和点D用实线表示）

12.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点C为$\overset{\frown}{AF}$的中点,连接AF交CD于点G,连接AC,OG.
(1)求证:AF= 2CE.
(2)若AB= 10,AC= 2$\sqrt{5}$,求OG的长.

答案：
(1)见解析；
(2)$\frac{3\sqrt{5}}{2}$