《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

10.用配方法解下列方程,配方错误的是(A)
A.$x^{2}+6x+16= 0化为(x+3)^{2}= 25$
B.$x^{2}-2x-99= 0化为(x-1)^{2}= 100$
C.$2t^{2}-7t-4= 0化为(t-\frac {7}{4})^{2}= \frac {81}{16}$
D.$3x^{2}-4x-2= 0化为(x-\frac {2}{3})^{2}= \frac {10}{9}$

答案： A. $x^{2} + 6x + 16 = 0$
$x^{2} + 6x = -16$
$x^{2} + 6x + 9 = -16 + 9$
$(x + 3)^{2} = -7$
原方程化为$(x + 3)^{2} = 25$，与上述结果不符，所以A选项配方错误。
B. $x^{2} - 2x - 99 = 0$
$x^{2} - 2x = 99$
$x^{2} - 2x + 1 = 99 + 1$
$(x - 1)^{2} = 100$
原方程化为$(x - 1)^{2} = 100$，与上述结果相符，所以B选项配方正确。
C. $2t^{2} - 7t - 4 = 0$
$2t^{2} - 7t = 4$
$t^{2} - \frac{7}{2}t = 2$
$t^{2} - \frac{7}{2}t + \frac{49}{16} = 2 + \frac{49}{16}$
$(t - \frac{7}{4})^{2} = \frac{81}{16}$
原方程化为$(t - \frac{7}{4})^{2} = \frac{81}{16}$，与上述结果相符，所以C选项配方正确。
D. $3x^{2} - 4x - 2 = 0$
$3x^{2} - 4x = 2$
$x^{2} - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$
$x^{2} - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{4}{9}$
$(x - \frac{2}{3})^{2} = \frac{10}{9}$
原方程化为$(x - \frac{2}{3})^{2} = \frac{10}{9}$，与上述结果相符，所以D选项配方正确。
综上所述，只有A选项配方错误。
故答案为：A。

11.若关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+m= 0$用配方法可写成$(x-4)^{2}= 6$的形式,则$x^{2}+8x+m= 5$用配方法可写成(D)
A.$(x+1)^{2}= 1$
B.$(x+4)^{2}= 1$
C.$(x+1)^{2}= 11$
D.$(x+4)^{2}= 11$

答案： 1. 由方程$x^{2}-8x+m=0$配方法写成$(x-4)^{2}=6$，展开得$x^{2}-8x+16=6$，即$x^{2}-8x+10=0$，故$m=10$。
2. 将$m=10$代入方程$x^{2}+8x+m=5$，得$x^{2}+8x+10=5$，移项得$x^{2}+8x=-5$。
3. 配方：$x^{2}+8x+16=-5+16$，即$(x+4)^{2}=11$。
D

12.用配方法解下列方程:
(1)$x(4-x)+16= -4x+3x^{2};$
(2)$2(x-1)^{2}= x(3x-10)+10.$

答案：
(1)
x(4 - x) + 16 = -4x + 3x²
展开得：4x - x² + 16 = -4x + 3x²
移项合并同类项：-4x² + 8x + 16 = 0
两边同除以-4：x² - 2x - 4 = 0
移项：x² - 2x = 4
配方：x² - 2x + 1 = 4 + 1，即(x - 1)² = 5
开平方：x - 1 = ±√5
解得：x₁ = 1 + √5，x₂ = 1 - √5
(2)
2(x - 1)² = x(3x - 10) + 10
展开得：2x² - 4x + 2 = 3x² - 10x + 10
移项合并同类项：x² - 6x + 8 = 0
移项：x² - 6x = -8
配方：x² - 6x + 9 = -8 + 9，即(x - 3)² = 1
开平方：x - 3 = ±1
解得：x₁ = 4，x₂ = 2

13.已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}-2x+a^{2}+1= 0$的一个根是1.
(1)求实数a的值;
(2)用配方法解该方程.

答案：
(1)将$x=1$代入方程$(a-1)x^{2}-2x+a^{2}+1=0$，得：
$(a-1)-2+a^{2}+1=0$，化简得$a^{2}+a-2=0$，
因式分解：$(a+2)(a-1)=0$，解得$a=-2$或$a=1$。
∵方程为一元二次方程，
∴$a-1≠0$，即$a≠1$，
∴$a=-2$。
(2)由$a=-2$，原方程为$-3x^{2}-2x+5=0$，两边同除以$-3$得$x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=0$，
移项：$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$，
配方：$x^{2}+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^{2}=\frac{5}{3}+(\frac{1}{3})^{2}$，即$(x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{16}{9}$，
开平方：$x+\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{5}{3}$。

14.综合与探究
解法展示:
"$a^{2}≥0$"这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式.
例如:$x^{2}+4x+5= x^{2}+4x+4+1= (x+2)^{2}+1.$
$\because (x+2)^{2}≥0,\therefore (x+2)^{2}+1≥1.\therefore x^{2}+4x+5≥1.$
问题解决:
(1)填空:$x^{2}-4x+5= (x$-2$)^{2}+$1.
问题探究:
(2)代数式$x^{2}-10x+30$的最小值为5.
(3)已知$x^{2}-4x+y^{2}+2y+5= 0$,则$x+y$的值为1.
(4)比较大小:$x^{2}-1$＞$2x-3$.(填“＞”“＜”或“=”)

答案：
(1) $x^{2}-4x+5 = (x-2)^{2}+1$。
填空答案为：$-2$；$1$。
(2) $x^{2}-10x+30 = (x-5)^{2}+5$。
$\because (x-5)^{2} \geq 0$，
$\therefore (x-5)^{2}+5 \geq 5$，
即代数式的最小值为$5$。
(3) $x^{2}-4x+y^{2}+2y+5 = 0$，
配方得 $(x-2)^{2}+(y+1)^{2} = 0$，
$\because (x-2)^{2} \geq 0$，$(y+1)^{2} \geq 0$，
$\therefore x-2 = 0$ 且 $y+1 = 0$，
解得 $x = 2$，$y = -1$，
则 $x+y = 2-1 = 1$。
(4) $x^{2}-1 - (2x-3) = x^{2}-2x+2 = (x-1)^{2}+1$，
$\because (x-1)^{2} \geq 0$，
$\therefore (x-1)^{2}+1 ＞ 0$，
$\therefore x^{2}-1 ＞ 2x-3$。
答案为：$＞$。