《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,小明想用长为12米的栅栏,借助围墙AD(围墙足够长)围成一个矩形花园ABCD,设AB= x米,则BC=12 - x米,所以$S_{矩形ABCD}= $$-x^{2}+12x$平方米,当x=6时,$S_{矩形ABCD}$有最大值,为36平方米.

答案： 矩形$ABCD$中，$AB=x$米，因为栅栏长为$12$米，即$AB + BC = 12$米，所以$BC = 12 - x$米。
$S_{矩形ABCD}=AB× BC = x(12 - x)=-x^{2}+12x$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），这里$a=-1$，$b = 12$，$c = 0$，当$x =-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2×(-1)} = 6$时，$y$有最大值$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{0 - 12^{2}}{4×(-1)} = 36$。
故答案依次为：$12 - x$；$-x^{2}+12x$；$6$；大；$36$。

2.【教材P52习题T6变式】如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°,AB= 12 cm,BC= 24 cm,动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B移动(不与点B重合);动点Q从点B出发沿BC以4 cm/s的速度向点C移动(不与点C重合).如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么当运动3s时,△PBQ的面积最大,为36$cm^2$.

答案： 设运动时间为$ t $秒$(0 ＜ t ＜ 6)$。
由题意得：$ AP = 2t \, cm $，$ BQ = 4t \, cm $，则$ PB = AB - AP = (12 - 2t) \, cm $。
$\triangle PBQ$的面积$ S = \frac{1}{2} × PB × BQ $，
即$ S = \frac{1}{2}(12 - 2t)(4t) = -4t^2 + 24t $。
$ S = -4t^2 + 24t $是开口向下的二次函数，对称轴为$ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2 × (-4)} = 3 $。
当$ t = 3 $时，$ S_{max} = -4 × 3^2 + 24 × 3 = 36 \, cm^2 $。
3；36

3. 用16 m长的篱笆借助如图所示的直角墙角(两边足够长)围一矩形区域ABCD,若篱笆全部用完,则矩形ABCD的最大面积是______$m^2$.

64

答案： 设$AB = x$米，则$BC = (16 - x)$米。
矩形面积$S = AB × BC = x(16 - x)=-x^{2}+16x$。
对于二次函数$y = -x^{2}+16x$，其中$a=-1$，$b = 16$，当$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{16}{2×(-1)} = 8$时，$S$有最大值。
最大值$S = -8^{2}+16× 8 = 64$（$m^{2}$）。
故答案为$64$。

【变式1】某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠原有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.现有可建墙体(不包括门)的材料27 m,求能建成饲养室的最大面积.

答案： 设垂直于原有墙的边长为$x$米，平行于原有墙的边长为$y$米。
1. 建立等量关系
新建墙体包括3道垂直于墙的墙（两边及中间隔墙）和1道平行于墙的墙，总长度（含门）为$3x + y$。三处门共宽$3×1 = 3$米，可建墙体材料27米，故：
$3x + y - 3 = 27$，即$y = 30 - 3x$。
2. 面积表达式
饲养室总面积$S = x·y$，将$y = 30 - 3x$代入得：
$S = x(30 - 3x) = -3x² + 30x$。
3. 求最大面积
$S = -3x² + 30x$是二次函数，$a = -3 ＜ 0$，开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2×(-3)} = 5$。
当$x = 5$时，$y = 30 - 3×5 = 15$，最大面积$S = 5×15 = 75$平方米。
结论
能建成饲养室的最大面积为$75$平方米。
$\boxed{75}$

【变式2】如图,某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形.已知栅栏的总长度为24 m,设较小矩形平行于墙的一边长为x m,当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大面积为多少?

答案： 解：
设较小矩形垂直于墙的一边长为 $ h $ 米，
∵ 两个矩形面积比为 $ 1:2 $，较小矩形平行于墙的边长为 $ x $ 米，
∴ 较大矩形平行于墙的边长为 $ 2x $ 米，
整个养殖场平行于墙的边长为 $ x + 2x = 3x $ 米，垂直于墙的边长为 $ h $ 米。
栅栏总长度为 $ 24 \, m $，包括：1条平行于墙的栅栏（长度 $ 3x $）、2条垂直于墙的外栅栏和1条垂直于墙的中间栅栏（共 $ 3h $），
∴ $ 3x + 3h = 24 $，化简得 $ x + h = 8 $，即 $ h = 8 - x $。
养殖场总面积 $ S = 3x \cdot h = 3x(8 - x) = -3x^2 + 24x $。
墙长限制：$ 3x \leq 10 $，即 $ x \leq \frac{10}{3} $。
$ S = -3x^2 + 24x $ 为开口向下的二次函数，对称轴 $ x = -\frac{24}{2 × (-3)} = 4 $，
∵ $ x \leq \frac{10}{3} ＜ 4 $，
∴ $ S $ 在 $ (0, \frac{10}{3}] $ 上单调递增。
当 $ x = \frac{10}{3} $ 时，$ h = 8 - \frac{10}{3} = \frac{14}{3} $，
最大面积 $ S = 3 × \frac{10}{3} × \frac{14}{3} = \frac{140}{3} \, m^2 $。
结论：
当 $ x = \frac{10}{3} \, m $ 时，矩形养殖场总面积最大，最大面积为 $ \frac{140}{3} \, m^2 $。
$ x = \frac{10}{3} $，最大面积 $ \frac{140}{3} \, m^2 $。