《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1.下列函数是二次函数的是 (D)
A.y= x+2
B.$ y= \frac{2}{x^2} $
C.y= xy+3
D.$ y= 2-3x^2 $

答案： D

2.若$ y= (k-3)x^2+k(x-3) $是二次函数,则k的取值范围是$ k \neq 3 $.

答案： 要使$ y = (k - 3)x^2 + k(x - 3) $是二次函数，二次项系数不能为$ 0 $。
展开式子得：$ y = (k - 3)x^2 + kx - 3k $，其中二次项系数为$ k - 3 $。
所以$ k - 3 \neq 0 $，解得$ k \neq 3 $。
$ k \neq 3 $

【变式】若$ y= (m^2+m)x^{m^2-2m+2} $是二次函数,则m的值为2.

答案： $2$

3.已知二次函数$ y= 1-5x+3x^2 $,则二次项系数a=3,一次项系数b=-5,常数项c=1.

答案： 二次函数的一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将给定的二次函数$y = 1 - 5x + 3x^2$化为一般形式：$y = 3x^2 - 5x + 1$。
所以，二次项系数$a = 3$，一次项系数$b = -5$，常数项$c = 1$。
3；-5；1

4.小杰把勤工俭学挣得的500元按一年期存入银行,已知年利率为x,一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存.设两年到期后,本息和为y元,则y与x之间的关系式为 (A)
A.$ y= 500(x+1)^2 $
B.$ y= x^2+500 $
C.$ y= x^2+500x $
D.$ y= x^2+5x $

答案： 1. 第一年本息和：500(1+x)
2. 第二年本息和：500(1+x)(1+x) = 500(x+1)²
3. 结论：y=500(x+1)²
A

5.在△ABC中,∠B= 90°,AB+BC= 12,则△ABC的面积y与AB的长x之间的关系式为$y = - \frac{1}{2}x^{2} + 6x \quad (0 ＜ x ＜ 12)$.

答案： 答题卡：
解：
设AB的长为$x$，则BC的长为$12 - x$。
由于$\angle B = 90{^\circ}$，所以$\bigtriangleup ABC$的面积为：
$y = \frac{1}{2} × AB × BC$
代入AB和BC的表达式，得：
$y = \frac{1}{2}x(12 - x)$
化简得：
$y = - \frac{1}{2}x^{2} + 6x$
由于AB和BC都是边长，所以必须大于0，即：
$x ＞ 0$
$12 - x ＞ 0$
解得：
$0 ＜ x ＜ 12$
综上，$\bigtriangleup ABC$的面积y与AB的长x之间的关系式为：
$y = - \frac{1}{2}x^{2} + 6x \quad (0 ＜ x ＜ 12)$

6.【教材P29练习T1变式】根据下面条件列出函数关系式,并判断所列函数是否为二次函数：
(1)如果两个数中,一个数比另一个数大5,那么这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
(2)在一个半径为10 cm的圆上挖掉4个大小相同的正方形孔,剩余部分的面积$ S(cm^2) 是正方形孔的边长 x(cm) $的函数；
(3)有一块长为60 m,宽为40 m的矩形空地,计划在它的四周相同的宽度内种植草坪,中间种植郁金香,那么郁金香的种植面积$ S(m^2) 是草坪宽度 a(m) $的函数.

答案： （1）设较大的数为$m$，则另一个数为$m - 5$。
两数的乘积为：
$p = m × (m - 5) = m^{2} - 5m$
所以，$p$是$m$的二次函数。
（2）圆的面积为：
$S_{circle} = \pi × 10^{2} = 100\pi$
四个正方形孔的总面积为：
$S_{square} = 4x^{2}$
所以，剩余部分的面积为：
$S = 100\pi - 4x^{2}$
所以，$S$是$x$的二次函数。
（3）矩形空地的总面积为：
$S_{total} = 60 × 40 = 2400$
四周草坪的总面积为：
$S_{lawn} = 2 × (60a) + 2 × (40a) - 4a^{2} = 200a - 4a^{2}$
（注意，四个角的草坪被重复计算了4次，所以要减去$4a^{2}$）
所以，郁金香的种植面积为：
$S = 2400 - (200a - 4a^{2}) = 4a^{2} - 200a + 2400$
（其中，$0 ＜ a ＜ 20$，因为草坪宽度不能为负且不能超过矩形的一半宽度）
所以，$S$是$a$的二次函数。

7.“直播带货”已经成为一种热门的销售方式,某平台代销一款电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源,待货物销售后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).调查发现：当销售单价为99元时,日销售量为200件,销售单价每降低5元,日销售量会增加10件.已知每售出1件该电子产品,该平台需支付厂家所有费用共50元,设该电子产品的销售单价为x元.
(1)写出日销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系式；
(2)写出日销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的关系式.

答案：
(1)$y = -2x + 398$；
(2)$w = -2x^2 + 498x - 19900$