《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 某公司生产的某种商品每件成本为22元,经市场调研发现,这种商品的日销售量m(件)与销售时间第x天之间满足一次函数关系m= -2x+96,日销售单价y(元)与销售时间第x天之间满足一次函数关系$ y= \frac{1}{4}x+25 $.设日销售利润为w元.
(1)销售过程中哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
(2)在实际销售的过程中,该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润($ a\leqslant 4.5 $)给希望工程.该公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随销售时间第x天的增大而增大,求a的取值范围.

答案：
(1) 由题意，日销售利润 $ w=(y-22)m $，其中 $ y=\frac{1}{4}x+25 $，$ m=-2x+96 $。
则 $ w=(\frac{1}{4}x+25-22)(-2x+96)=(\frac{1}{4}x+3)(-2x+96) $。
展开得：$ w=-0.5x^2+18x+288 $。
二次函数 $ w=-0.5x^2+18x+288 $ 开口向下，对称轴为 $ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{18}{2×(-0.5)}=18 $。
当 $ x=18 $ 时，$ w_{max}=-0.5×18^2+18×18+288=450 $。
答：第18天日销售利润最大，最大利润450元。
(2) 扣除捐赠后，日销售利润 $ w'=(y-22-a)m=(\frac{1}{4}x+3-a)(-2x+96) $。
展开得：$ w'=-0.5x^2+(18+2a)x+96(3-a) $。
对称轴为 $ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{18+2a}{2×(-0.5)}=18+2a $。
因前20天利润随 $ x $ 增大而增大，且抛物线开口向下，故对称轴 $ x\geq20 $。
即 $ 18+2a\geq20 $，解得 $ a\geq1 $。又 $ a\leq4.5 $，故 $ 1\leq a\leq4.5 $。
答：$ a $ 的取值范围是 $ 1\leq a\leq4.5 $。

2. 著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者,他是当之无愧的"时代巨人".某直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》,赢得了众多粉丝的青睐.已知这本书的进价为每本10元,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的3倍.通过前几天的销售发现,当销售单价为15元时,每天可售出700本,销售单价每上涨10元,销售量就减少200本.设每天的销售量为y本,销售单价为x元.
(1)直接写出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
(2)若该书每天的销售利润为7500元,求该书的销售单价；
(3)该直播平台决定,每销售一本书就捐赠a元($ a＞0 $)做慈善,当每天的最大销售利润为6000元时,求a的值.

答案：
(1)y = -20x + 1000（10 ≤ x ≤ 30）；
(2)25元；
(3)5。