《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

7. 已知用求根公式解得关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$的两个根互为相反数,则 (A)
A.$b= 0$
B.$c= 0$
C.$b^{2}-4ac= 0$
D.$b+c= 0$

答案： 7. 解：
设方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 × x_2 = \frac{c}{a}$
由题意知 $x_1 = -x_2$，代入 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 得：
$x_1 - x_1 = 0 = -\frac{b}{a}$
从上式可得 $b = 0$。
故答案为：A. $b = 0$。

8. 用公式法解方程：
(1)$2\sqrt{6}x-5= 2(x^{2}-1)$；
(2)$(3-x)^{2}+x^{2}= 12$。

答案：
(1)原方程化为一般形式：$2x^2 - 2\sqrt{6}x + 3 = 0$
$a=2$，$b=-2\sqrt{6}$，$c=3$
$\Delta = (-2\sqrt{6})^2 - 4×2×3 = 24 - 24 = 0$
$x = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{0}}{2×2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
$\therefore x_1 = x_2 = \frac{\sqrt{6}}{2}$
(2)原方程化为一般形式：$2x^2 - 6x - 3 = 0$
$a=2$，$b=-6$，$c=-3$
$\Delta = (-6)^2 - 4×2×(-3) = 36 + 24 = 60$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2×2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$
$\therefore x_1 = \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

9. 定义新运算“⊕”如下：当$a\geq b$时,$a⊕b= ab-a$；当$a＜b$时,$a⊕b= ab+b$。
(1)计算：$(-2)⊕(-\frac{1}{2})$。
(2)若$2x⊕(x+1)= 8$,求$x$的值。

答案：
(1) 因为$-2 ＜ -\frac{1}{2}$，所以$(-2)⊕(-\frac{1}{2})=(-2)×(-\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
(2) 分两种情况讨论：
情况一：当$2x \geq x+1$，即$x \geq 1$时，$2x⊕(x+1)=2x(x+1)-2x=8$，化简得$2x^2=8$，解得$x^2=4$，$x=\pm2$，因为$x \geq 1$，所以$x=2$。
情况二：当$2x ＜ x+1$，即$x ＜ 1$时，$2x⊕(x+1)=2x(x+1)+(x+1)=8$，化简得$2x^2+3x-7=0$，判别式$\Delta=3^2-4×2×(-7)=65$，解得$x=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{4}$，因为$x ＜ 1$，所以$x=\frac{-3-\sqrt{65}}{4}$。
综上，$x=2$或$x=\frac{-3-\sqrt{65}}{4}$。

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,以点$B$为圆心,$BC$的长为半径画弧,交线段$AB于点D$；以点$A$为圆心,$AD$的长为半径画弧,交线段$AC于点E$。
(1)若$BC= 2$,$AC= 2\sqrt{3}$,求$AD$的长。
(2)设$BC= a$,$AC= b$。
①线段$AD的长是关于x的一元二次方程x^{2}+2ax-b^{2}= 0$的一个根吗？请说明理由。
②若$AD= EC$,求$a$,$b$之间的数量关系。

答案：
(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=2√3，
AB=√(AC²+BC²)=√[(2√3)²+2²]=√16=4，
∵BD=BC=2，
∴AD=AB-BD=4-2=2。
(2)设BC=a，AC=b，则AB=√(a²+b²)，BD=a，AD=√(a²+b²)-a。
①是。理由：将x=√(a²+b²)-a代入x²+2ax-b²，
左边=(√(a²+b²)-a)²+2a(√(a²+b²)-a)-b²
=a²+b²-2a√(a²+b²)+a²+2a√(a²+b²)-2a²-b²=0，
∴AD是方程的一个根。
②
∵AE=AD，EC=AC-AE=b-AD，AD=EC，
∴AD=b-AD，即AD=b/2，
又AD=√(a²+b²)-a，
∴√(a²+b²)-a=b/2，
两边平方得a²+b²=a²+ab+b²/4，化简得3b²=4ab，
∵b≠0，
∴3b=4a。