《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在$□ ABCD$中,$AE\perp BD于点E$,过点$C作CF\perp BD$,垂足为点$F$,请在图中画出点$F$.

答案： 1. 已知$CF\perp BD$，以点$C$为圆心，适当长度为半径画弧，交$BD$于两点。
2. 再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点。
3. 过点$C$和这个交点作直线，与$BD$的交点即为点$F$。

2. 已知正方形$ABCD$,请按下列要求作图.
(1)如图1,点$F是CB$的中点,画出正方形$ABCD的中心O$,并将线段$AF绕点O旋转180^\circ得到线段CE$;
(2)如图2,点$F是CD$的中点,将直线$AC绕正方形ABCD的中心顺时针旋转45^\circ得到直线l$.

答案： （1）
连接$AC$和$BD$，交点即为正方形的中心$O$。
连接$EO$，因为$AF$绕点$O$旋转$180^\circ$得到$CE$，所以$AF// CE$且$AF = CE$，延长$EO$交$AD$于$E$，则$E$为$AD$中点，$CE$即为所求。
（2）
连接$AC$和$BD$，交点为$O$。
过$O$作$OG\perp AC$，因为$\angle ACD = 45^\circ$，旋转$45^\circ$后直线$l$与$CD$的夹角为$45^\circ$，所以直线$l$与$OG$重合时满足条件（或通过其他几何关系确定直线$l$的位置），直线$l$即为所求。

3. 已知矩形$ABCD$,请按下列要求作图.
(1)如图1,在矩形$ABCD内找一点O$,使$OA= OB= OC= OD$;
(2)如图2,点$E为AD$边上一点,且$DE= 2AE$,在$BC上找一点F$,使$BF= 2CF$;
(3)如图3,点$P为CD$的中点,画出矩形的一条对称轴$m$,且$m过点P$,并画出$PC的中点Q$.

答案： （1）作矩形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$，它们的交点即为所求的点$O$。
（2）过点$E$作$EG\perp BC$，垂足为$G$，取$BG$中点$F$，则点$F$即为所求。
（3）连接$AP$，过$AP$的中点与点$B$作直线$m$，作$PC$的垂直平分线，交$PC$于点$Q$，则$m$和点$Q$即为所求。

4. 如图,在菱形$ABCD$中,点$E在BC$边上,请按下列要求作图.
(1)如图1,在$AD边上找一点F$,使四边形$AECF$是平行四边形;
(2)如图2,在$CD边上找一点K$,使$CK= CE$;
(3)如图3,若点$G在BD$上,在$BD上找一点H$,使四边形$AGCH$是菱形.

答案： （1）过点$E$作$EO \perp AD$于点$O$，连接$CE$，$AC$，作$AC$的垂直平分线交$AD$于点$F$，点$F$即为所求。
（2）过点$E$作$EM \perp CD$于点$M$，作$BC$的垂直平分线交$CD$于点$K$，点$K$即为所求。
（3）连接$AC$交$BD$于点$O$，在$BD$上截取$OH = OG$，连接$AG$，$CH$，四边形$AGCH$即为所求。