《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 填写下面表格：
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $y= 6x^{2}$ | | | |
| $y= -6x^{2}$ | | | |

答案： 对于二次函数$y=ax^2$：
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。
对称轴为$y$轴，即直线$x=0$；顶点坐标为$(0,0)$。
$y=6x^2$中$a=6\gt0$，所以开口方向向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$。
$y=-6x^2$中$a=-6\lt0$，所以开口方向向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$。
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=6x^2$ | 向上 | 直线$x=0$ | $(0,0)$ |
| $y=-6x^2$ | 向下 | 直线$x=0$ | $(0,0)$ |

2. 下列抛物线中,开口最小的是(C)
A.$y= -\frac{1}{4}x^{2}$
B.$y= -\frac{1}{2}x^{2}$
C.$y= \frac{3}{2}x^{2}$
D.$y= x^{2}$

答案： 对于抛物线$y = ax^{2}$，其开口大小由系数$|a|$决定，$|a|$越大，开口越小；$|a|$越小，开口越大。
分别计算各选项的$|a|$值：
A. 对于$y = -\frac{1}{4}x^{2}$，$|a| = \left|-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4}$；
B. 对于$y = -\frac{1}{2}x^{2}$，$|a| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$；
C. 对于$y = \frac{3}{2}x^{2}$，$|a| = \left|\frac{3}{2}\right| = \frac{3}{2}$；
D. 对于$y = x^{2}$，$|a| = |1| = 1$。
比较$|a|$的大小：
$\frac{1}{4} \lt \frac{1}{2} \lt 1 \lt \frac{3}{2}$
由于$\frac{3}{2}$是最大的$|a|$值，所以抛物线$y = \frac{3}{2}x^{2}$的开口最小。
故答案为：C。

3. 比较抛物线$y= 3x^{2}与y= -5x^{2}$,下列结论错误的是(C)
A.对称轴相同
B.顶点相同
C.都有最高点
D.开口方向相反

答案： A. 对于抛物线 $y = 3x^{2}$ 和 $y = -5x^{2}$，它们都是关于y轴对称的，因为它们的标准形式中x的平方项系数是唯一的变量，且没有x的一次项。所以，它们的对称轴都是x=0，即y轴。故A选项正确。
B. 对于抛物线 $y = ax^{2}$，其顶点坐标可以通过公式得到为(0,0)。所以，抛物线 $y = 3x^{2}$ 和 $y = -5x^{2}$ 的顶点都是(0,0)。故B选项正确。
C. 抛物线 $y = 3x^{2}$ 的开口方向是向上，因为它有一个正的x平方项系数。所以，它有一个最低点，而不是最高点。而抛物线 $y = -5x^{2}$ 的开口方向是向下，因为它有一个负的x平方项系数，所以它有一个最高点。但是，考虑到题目问的是两个抛物线的共同点，我们不能说它们“都有最高点”。故C选项错误。
D. 抛物线 $y = 3x^{2}$ 的开口方向是向上，而抛物线 $y = -5x^{2}$ 的开口方向是向下。所以，它们的开口方向是相反的。故D选项正确。
综上所述，错误的选项是C。

4. 已知点$(1,y_{1}),(2,y_{2})都在函数y= x^{2}$的图象上,则$y_{1}与y_{2}$的大小关系是(B)
A.$y_{1}＞y_{2}＞0$
B.$y_{2}＞y_{1}＞0$
C.$y_{1}＜y_{2}＜0$
D.$y_{2}＜y_{1}＜0$

答案： 当$x=1$时，$y_{1}=1^{2}=1$；当$x=2$时，$y_{2}=2^{2}=4$。因为$4＞1＞0$，所以$y_{2}＞y_{1}＞0$。
B

【变式1】已知抛物线$y= x^{2}过A(-2,y_{1}),B(1,y_{2})$两点,则(C)
A.$y_{1}＞0＞y_{2}$
B.$y_{2}＞0＞y_{1}$
C.$y_{1}＞y_{2}＞0$
D.$y_{2}＞y_{1}＞0$

答案： C

【变式2】已知抛物线$y= x^{2}$的对称轴右侧有A(x₁,2),B(x₂,1)两点,则(C)
A.$x_{1}＞0＞x_{2}$
B.$x_{2}＞0＞x_{1}$
C.$x_{1}＞x_{2}＞0$
D.$x_{2}＞x_{1}＞0$

答案： C

5. 已知二次函数$y= (2-a)x^{2}$的图象在y轴的右侧部分是上升的,则$a$的取值范围是$a＜2$.

答案： $a＜2$

6. 已知$P(a,b)和Q(-1,c)是抛物线y= 5x^{2}$上关于对称轴对称的两点,则$a= $1,$b= $5,$c= $5.

答案： 抛物线$y=5x^2$的对称轴为$y$轴（直线$x=0$）。
因为点$P(a,b)$和$Q(-1,c)$关于对称轴对称，所以两点的横坐标互为相反数，即$a=-(-1)=1$。
点$Q(-1,c)$在抛物线$y=5x^2$上，所以$c=5×(-1)^2=5×1=5$。
点$P(a,b)$即$P(1,b)$在抛物线$y=5x^2$上，所以$b=5×1^2=5×1=5$。
$a=1$，$b=5$，$c=5$

7. 【教材P41习题T3变式】在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象：
$y= x^{2};y= 2x^{2};y= -x^{2};y= -2x^{2}$.
(1)请填写下表并画出函数图象：
| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $y= x^{2}$ | … | | | | | | … |
| $y= 2x^{2}$ | … | | | | | | … |
| $y= -x^{2}$ | … | | | | | | … |
| $y= -2x^{2}$ | … | | | | | | … |

(2)①分别对比函数$y= x^{2}与y= -x^{2}$,$y= 2x^{2}与y= -2x^{2}$的图象,它们成轴对称吗？若是,对称轴是哪条直线？
②函数$y= ax^{2}与y= -ax^{2}(a≠0)$的图象具有①中那样的关系吗？你还能得出什么结论？(请写出两个)

答案： （1）
| $x$ | ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | ... | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | ... |
| $y = 2x^{2}$ | ... | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | ... |
| $y = -x^{2}$ | ... | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | ... |
| $y = -2x^{2}$ | ... | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 | ... |
（2）
① $y = x^{2}$与$y = -x^{2}$，$y = 2x^{2}$与$y = -2x^{2}$的图象成轴对称，对称轴是$y = 0$（$x$轴）。
② 函数$y = ax^{2}$与$y = -ax^{2}(a\neq0)$的图象具有①中那样的关系。
结论：
函数$y = ax^{2}$与$y = -ax^{2}(a\neq0)$的图象开口大小相同，方向相反；
函数$y = ax^{2}$与$y = -ax^{2}(a\neq0)$的图象的顶点都是原点$(0,0)$。