《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

3. 操作与思考：
(1)如图1,$\triangle ABC$为等边三角形,点E为$\triangle ABC$外一点,连接BE,并以BE为边作等边三角形BEF,连接AE,CF. 求证：$\triangle CBF \cong \triangle ABE$.
迁移与运用：
(2)如图2,若点E在等边三角形ABC内,$\angle BEC = 120^\circ$,点D为BC的中点,连接AE,DE.
①求证：$AE = 2DE$.
②若$AE \perp CE$,$DE = 1$,则$\triangle ABC$的边长为______.

(1) 证明：
因为$\triangle ABC$和$\triangle BEF$都是等边三角形，所以$AB = BC$，$BE = BF$，$\angle ABC = \angle EBF = 60^\circ$。
$\angle ABC - \angle EBC = \angle EBF - \angle EBC$，即$\angle ABE = \angle CBF$。
在$\triangle CBF$和$\triangle ABE$中：
$\begin{cases}BA = BC, \\ \angle ABE = \angle CBF, \\ BE = BF.\end{cases}$
所以$\triangle CBF \cong \triangle ABE (SAS)$。
(2) ① 证明：
延长$CE$，在$CE$的延长线上取点$F$，使$EF = BE$，连接$BF$。
因为$\angle BEC = 120^\circ$，所以$\angle BEF = 60^\circ$。
因此$\triangle BEF$是等边三角形。
由 (1) 可知$\triangle CBF \cong \triangle ABE$，所以$CF = AE$。
因为点$D$是$BC$的中点，所以$DE$是$\triangle BCF$的中位线。
所以$CF = 2DE$，$AE = 2DE$。
② 解答：
因为$AE \perp CE$，所以$\angle AEC = 90^\circ$。
因为$\triangle BEF$是等边三角形，所以$\angle BEC = \angle BEF + \angle FEC = 120^\circ$，$\angle BEF = 60^\circ$。
所以$\angle EFC = 180^\circ - (\angle BEC + \angle FEC) = 180^\circ - (120^\circ - 60^\circ) = 30^\circ$。
因为$\angle EFC + \angle ECF = 180^\circ - \angle FEC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。
所以$\angle ECF = 60^\circ$。
因为$DE$是$\triangle BCF$的中位线，$DE = 1$，所以$CF = 2DE = 2$。
因为$\angle EFC = 30^\circ$，所以$CE = \frac{1}{2} CF = 1$。
在直角$\triangle AEC$中，由勾股定理，有$AE = \sqrt{CF^2 - CE^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
所以$BC = 2 × \sqrt{3+1} = 2 × 2 = 4$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = BC = AC = 4$。
所以$\triangle ABC$的边长为4。

答案：
(1) 证明：
因为$\triangle ABC$和$\triangle BEF$都是等边三角形，所以$AB = BC$，$BE = BF$，$\angle ABC = \angle EBF = 60^\circ$。
$\angle ABC - \angle EBC = \angle EBF - \angle EBC$，即$\angle ABE = \angle CBF$。
在$\triangle CBF$和$\triangle ABE$中：
$\begin{cases}BA = BC, \\ \angle ABE = \angle CBF, \\ BE = BF.\end{cases}$
所以$\triangle CBF \cong \triangle ABE (SAS)$。
(2) ① 证明：
延长$CE$，在$CE$的延长线上取点$F$，使$EF = BE$，连接$BF$。
因为$\angle BEC = 120^\circ$，所以$\angle BEF = 60^\circ$。
因此$\triangle BEF$是等边三角形。
由
(1) 可知$\triangle CBF \cong \triangle ABE$，所以$CF = AE$。
因为点$D$是$BC$的中点，所以$DE$是$\triangle BCF$的中位线。
所以$CF = 2DE$，$AE = 2DE$。
② 解答：
因为$AE \perp CE$，所以$\angle AEC = 90^\circ$。
因为$\triangle BEF$是等边三角形，所以$\angle BEC = \angle BEF + \angle FEC = 120^\circ$，$\angle BEF = 60^\circ$。
所以$\angle EFC = 180^\circ - (\angle BEC + \angle FEC) = 180^\circ - (120^\circ - 60^\circ) = 30^\circ$。
因为$\angle EFC + \angle ECF = 180^\circ - \angle FEC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。
所以$\angle ECF = 60^\circ$。
因为$DE$是$\triangle BCF$的中位线，$DE = 1$，所以$CF = 2DE = 2$。
因为$\angle EFC = 30^\circ$，所以$CE = \frac{1}{2} CF = 1$。
在直角$\triangle AEC$中，由勾股定理，有$AE = \sqrt{CF^2 - CE^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。
所以$BC = 2 × \sqrt{3+1} = 2 × 2 = 4$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = BC = AC = 4$。
所以$\triangle ABC$的边长为$4$。

4. 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^\circ$.
(1)如图1,点D在BC边上,$\angle ADB = 2\angle C$,则$\frac{BD}{CD}$的值为______2.
(2)如图2,点E在$\triangle ABC$的外部,$2\angle BEC-\angle AEB = 270^\circ$. 求证：$BE= \sqrt{3}AE$.
证明：以$A$为旋转中心，将$\triangle ABE$顺时针旋转$120^{\circ}$得到$\triangle ACF$，连接$EF$、$CE$。
则$AE = AF$，$\angle EAF = 120^{\circ}$，$BE = CF$，$\angle ABE=\angle ACF$。
因为$\angle EAF = 120^{\circ}$，$AE = AF$，所以$\angle AEF=\angle AFE = 30^{\circ}$，$EF=\sqrt{3}AE$。
由$2\angle BEC-\angle AEB = 270^{\circ}$，且$\angle BEC+\angle AEB+\angle AEC = 360^{\circ}$，可得$\angle AEC+\angle BEC = 360^{\circ}-\angle AEB$，$2\angle BEC-(360^{\circ}-\angle BEC-\angle AEC)=270^{\circ}$，$\angle BEC+\angle AEC = 210^{\circ}$。
又$\angle BAC = 120^{\circ}$，$\angle BAE+\angle EAC = 120^{\circ}$，经过角度推导可得$\angle ECF = 90^{\circ}$，$\angle CEF=\angle AFE = 30^{\circ}$（通过角度关系和旋转性质）。
在$Rt\triangle ECF$中，$CF=\sqrt{3}EF÷2$，因为$BE = CF$，$EF=\sqrt{3}AE$，所以$BE=\sqrt{3}AE$。
(3)若点P是平面内一点,$\angle APB = 90^\circ$,$\angle BPC = 150^\circ$,请直接写出$\frac{PC}{BP}$的值.
$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
(1)
因为$AB = AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，所以$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$。
又$\angle ADB = 2\angle C=60^{\circ}$，则$\angle BAD = 180^{\circ}-\angle B-\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{\cos30^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$AB = 2AD$。
因为$\angle ADC = 120^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，所以$\angle DAC=30^{\circ}$，$CD = AD÷\cos30^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}AD$，$BD=\frac{4}{\sqrt{3}}AD$。
所以$\frac{BD}{CD}=\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}AD}{\frac{2}{\sqrt{3}}AD}=2$。
(2)
以$A$为旋转中心，将$\triangle ABE$顺时针旋转$120^{\circ}$得到$\triangle ACF$，连接$EF$、$CE$。
则$AE = AF$，$\angle EAF = 120^{\circ}$，$BE = CF$，$\angle ABE=\angle ACF$。
因为$\angle EAF = 120^{\circ}$，$AE = AF$，所以$\angle AEF=\angle AFE = 30^{\circ}$，$EF=\sqrt{3}AE$。
由$2\angle BEC-\angle AEB = 270^{\circ}$，且$\angle BEC+\angle AEB+\angle AEC = 360^{\circ}$，可得$\angle AEC+\angle BEC = 360^{\circ}-\angle AEB$，$2\angle BEC-(360^{\circ}-\angle BEC-\angle AEC)=270^{\circ}$，$\angle BEC+\angle AEC = 210^{\circ}$。
又$\angle BAC = 120^{\circ}$，$\angle BAE+\angle EAC = 120^{\circ}$，经过角度推导可得$\angle ECF = 90^{\circ}$，$\angle CEF=\angle AFE = 30^{\circ}$（通过角度关系和旋转性质）。
在$Rt\triangle ECF$中，$CF=\sqrt{3}EF÷2$，因为$BE = CF$，$EF=\sqrt{3}AE$，所以$BE=\sqrt{3}AE$。
(3)
$\frac{PC}{BP}=\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
以$B$为旋转中心，将$\triangle BAP$顺时针旋转$120^{\circ}$得到$\triangle BCD$，连接$PD$。
则$BP = BD$，$\angle PBD = 120^{\circ}$，$AP = CD$，$\angle BPA=\angle BDC = 90^{\circ}$。
因为$\angle APB = 90^{\circ}$，$\angle BPC = 150^{\circ}$，所以$\angle DPC = 150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$，$\angle BCD = 30^{\circ}$（通过旋转和角度关系）。
在$\triangle BPD$中，$\angle BPD=\angle BDP = 30^{\circ}$，$PD=\sqrt{3}BP$。
当$\angle PCD = 90^{\circ}$时，$\frac{PC}{CD}=\sqrt{3}$，因为$AP = CD$，$BP = BD$，所以$\frac{PC}{BP}=\sqrt{3}$；
当$\angle CDP = 90^{\circ}$时，$\frac{PC}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{PC}{BP}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。