《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

8. 如图,在△ABC中,∠BAC= 108°,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△AB'C'.若点B'恰好落在BC边上,且AB'= CB',则∠C'的度数为______.

24°

答案： 设∠C = x。
∵AB' = CB'，
∴∠CAB' = ∠C = x（等边对等角）。
在△AB'C中，∠AB'C = 180° - ∠C - ∠CAB' = 180° - 2x。
∵点B'在BC上，
∴∠AB'C + ∠AB'B = 180°（平角定义），
∴∠AB'B = 180° - (180° - 2x) = 2x。
由旋转性质得AB = AB'，
∴∠B = ∠AB'B = 2x（等边对等角）。
在△ABC中，∠BAC = 108°，
∴∠B + ∠C = 180° - 108° = 72°，即2x + x = 72°，解得x = 24°。
由旋转性质得∠C' = ∠C = 24°。
24°

9. 如图,在平面直角坐标系中,点B在第一象限内,点A在x轴的正半轴上,∠AOB= ∠B= 30°,OA= 2,将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',则点B的对应点B'的坐标是______.

(-√3,3)

答案： 过点B作BC⊥x轴于点C。
在△AOB中，∠AOB=30°，∠B=30°，则∠OAB=180°-30°-30°=120°。
由正弦定理：OA/sin∠B=OB/sin∠OAB，OA=2，∠B=30°，∠OAB=120°，
得2/sin30°=OB/sin120°，2/(1/2)=OB/(√3/2)，解得OB=2√3。
在Rt△OBC中，∠BOC=30°，
OC=OB·cos30°=2√3×(√3/2)=3，
BC=OB·sin30°=2√3×(1/2)=√3，
∴点B坐标为(3,√3)。
将点B(3,√3)绕点O逆时针旋转90°，根据旋转性质，坐标变为(-√3,3)。
(-√3,3)

10. 如图,点D是等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,连接CD,BE.
(1)求证:∠AEB= ∠ADC.
(2)连接DE,若∠ADC= 105°,∠CAD= 30°,DE= 6,求BE的长.

答案：
(1)见解析；
(2)3√2

11. 【问题背景】如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF= 45°,连接EF.将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG,易证得EF= BE+DF.
【迁移应用】(1)如图2,在四边形ABCD中,AB= AD,∠BAD= 90°,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF= 45°.若∠B,∠ADC都不是直角,且∠B+∠ADC= 180°,利用旋转的知识探究EF,BE与DF之间的数量关系.
【联系拓展】(2)如图3,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,点D,E在边BC上,∠DAE= 45°,请直接写出BD,DE与CE之间的数量关系.

答案： （1）
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，
∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠ABE=∠ADG。
∵∠BAD=90°，
∴∠EAG=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠EAG-∠EAF=45°=∠EAF。
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG=∠B，
∴∠ADG+∠ADC=180°，即点G、D、F共线。
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AG \\ ∠EAF=∠GAF \\ AF=AF \end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF。
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF。
（2）
DE²=BD²+CE²。