《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

11. 关于x的一元二次方程$x^{2}+ax-4= 0$的根的情况是(A)
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根据a的值来确定

答案： 对于一元二次方程 $x^{2} + ax - 4 = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
其中，$a = 1, b = a, c = -4$。
代入得：
$\Delta = a^{2} - 4× (1)× (-4) = a^{2} + 16$
由于 $a^{2}$ 是非负的，所以 $a^{2} + 16 ＞ 0$。
因此，$\Delta ＞ 0$。
根据一元二次方程的根的判别式，当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不等的实数根。
故答案为：A. 有两个不等的实数根。

12. 某同学在解关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$时,只抄对了$a= 1$,$b= -8$,解出其中的一个根是$x= -1$.他核对时发现所抄的c是原方程c的相反数,则原方程的根的情况是(A)
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个根是$x= 1$
D.无实数根

答案： 1. 同学抄错的方程为$x^2 - 8x + c' = 0$（$a=1$，$b=-8$，$c'$为抄错的常数项）。
2. 将根$x=-1$代入抄错的方程：$(-1)^2 - 8×(-1) + c' = 0$，即$1 + 8 + c' = 0$，解得$c'=-9$。
3. 由题意，$c'=-c$（$c$为原方程常数项），故$c=9$。
4. 原方程为$x^2 - 8x + 9 = 0$，计算判别式$\Delta = (-8)^2 - 4×1×9 = 64 - 36 = 28$。
5. 因为$\Delta=28＞0$，所以原方程有两个不等的实数根。
A

13. 关于x的一元二次方程$x^{2}+(m-2)x+m+1= 0$有两个相等的实数根,则m的值是(D)
A.0
B.8
C.$4±2\sqrt{2}$
D.0或8

答案： 答题卡：
13.
解：
由于一元二次方程 $x^{2}+(m-2)x+m+1= 0$ 有两个相等的实数根，根据判别式的性质，我们有：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$
将方程的系数代入上述公式，得：
$(m-2)^{2} - 4(1)(m+1) = 0$
展开并整理，得：
$m^{2} - 4m + 4 - 4m - 4 = 0$
$m^{2} - 8m = 0$
$m(m - 8) = 0$
从上式可以解得：
$m = 0$ 或 $m = 8$
故答案为：D. 0或8。

14. 已知关于x的方程$x^{2}+(1-m)x+\frac{m^{2}}{4}= 0$有两个不等的实数根,则m可取的最大整数是0.

答案：
∵方程有两个不等的实数根，
∴判别式$\Delta=(1 - m)^2 - 4×1×\frac{m^2}{4}＞0$，
即$1 - 2m + m^2 - m^2＞0$，
化简得$1 - 2m＞0$，
解得$m＜\frac{1}{2}$，
∴m可取的最大整数是0。
0

15. 已知关于x的方程$kx^{2}-(3k-1)x+2(k-1)= 0$,求证:无论k为何实数,此方程总有实数根.

答案： 证明：
1. 当$k = 0$时，方程化为$x - 2 = 0$，解得$x = 2$，有实数根。
2. 当$k \neq 0$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = [-(3k - 1)]^2 - 4k \cdot 2(k - 1)$
$= 9k^2 - 6k + 1 - 8k(k - 1)$
$= 9k^2 - 6k + 1 - 8k^2 + 8k$
$= k^2 + 2k + 1$
$= (k + 1)^2 \geq 0$，方程有两个实数根（包括两个相等的实数根）。
综上，无论$k$为何实数，此方程总有实数根。

16. 已知关于x的一元二次方程$(k+1)x^{2}-2kx+k-2= 0$有两个不等的实数根.
(1)求实数k的取值范围；
(2)写出满足条件的k的最小整数值,并求出此时方程的根.

答案：
(1)
∵方程为一元二次方程，
∴k+1≠0，即k≠-1.
∵方程有两个不等实数根，
∴Δ＞0.
Δ=(-2k)²-4(k+1)(k-2)=4k²-4(k²-k-2)=4k+8.
由4k+8＞0，得k＞-2.
综上，k的取值范围是k＞-2且k≠-1.
(2)满足条件的k的最小整数值为0.
当k=0时，方程为x²-2=0，解得x=±√2.
此时方程的根为x₁=√2，x₂=-√2.

17. 已知a,b,c分别为$△ABC$的顶点A,B,C所对的三条边的长,并且关于x的一元二次方程$2ax^{2}+2bx+c= 0$有两个相等的实数根.当$∠B= 90^{\circ}$时,试判断$△ABC$是否是等腰直角三角形,并说明理由.

答案： △ABC是等腰直角三角形。理由如下：
∵关于x的一元二次方程$2ax^{2}+2bx+c=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(2b)^{2}-4×2a× c=0$，
即$4b^{2}-8ac=0$，化简得$b^{2}=2ac$。
∵在$△ABC$中，$∠B=90^{\circ}$，
∴由勾股定理得$a^{2}+c^{2}=b^{2}$。
联立$b^{2}=2ac$与$a^{2}+c^{2}=b^{2}$，得$a^{2}+c^{2}=2ac$，
即$(a-c)^{2}=0$，
∴$a=c$。
∵$∠B=90^{\circ}$且$a=c$，
∴$△ABC$是等腰直角三角形。