《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

6.某超市购进一批水果,其成本为8元/千克,根据市场调研发现,这种水果在未来10天的售价m(元/千克)与第x天之间满足函数关系式$m= \frac{1}{2}x+18$(1≤x≤10,x为整数),通过分析销售情况,发现每天的销售量y(千克)与第x天之间满足一次函数关系,下表是其中的三组对应值.
|第x天|…|2|5|9|…|
|销售量y/千克|…|33|30|26|…|

(1)y与x之间的函数关系式为 $y = - x + 35$（$1\leq x\leq10$，$x$为整数）.
(2)在这10天中,哪一天销售这种水果的利润最大?最大利润为多少元?
第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大利润为378元。

答案： （1）设$y$与$x$之间的函数关系式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
把$(2,33)$，$(5,30)$代入$y = kx + b$中，得$\begin{cases}2k + b = 33,\\5k + b = 30.\end{cases}$
两式相减得：$3k=-3$，解得$k = - 1$。
把$k = - 1$代入$2k + b = 33$，得$-2 + b = 33$，解得$b = 35$。
所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y = - x + 35$（$1\leq x\leq10$，$x$为整数）。
（2）设每天销售这种水果的利润为$W$元。
根据利润$=$（售价$-$成本）$×$销售量，已知成本为$8$元/千克，售价$m=\frac{1}{2}x + 18$，销售量$y = - x + 35$，则：
$W = (m - 8)y = (\frac{1}{2}x + 18 - 8)( - x + 35)=(\frac{1}{2}x + 10)( - x + 35)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{35}{2}x-10x + 350=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{15}{2}x + 350=-\frac{1}{2}(x^{2}-15x)+350=-\frac{1}{2}(x^{2}-15x+\frac{225}{4}-\frac{225}{4})+350=-\frac{1}{2}[(x - \frac{15}{2})^{2}-\frac{225}{4}]+350=-\frac{1}{2}(x - \frac{15}{2})^{2}+\frac{225}{8}+350=-\frac{1}{2}(x - \frac{15}{2})^{2}+\frac{3025}{8}$。
因为$1\leq x\leq10$且$x$为整数，对于二次函数$W = -\frac{1}{2}(x - \frac{15}{2})^{2}+\frac{3025}{8}$，其二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，在对称轴$x = \frac{15}{2}=7.5$左侧$W$随$x$的增大而增大。
又因为$x$为整数且$1\leq x\leq10$，所以当$x = 7$或$x = 8$时，$W$有最大值。
当$x = 7$时，$W = -\frac{1}{2}×(7 - 7.5)^{2}+\frac{3025}{8}=-\frac{1}{2}×(-0.5)^{2}+\frac{3025}{8}=-\frac{1}{8}+\frac{3025}{8}=378$（元）。
当$x = 8$时，$W = -\frac{1}{2}×(8 - 7.5)^{2}+\frac{3025}{8}=-\frac{1}{2}×(0.5)^{2}+\frac{3025}{8}=-\frac{1}{8}+\frac{3025}{8}=378$（元）。
所以，第$7$天和第$8$天销售这种水果的利润最大，最大利润为$378$元。

7.某商店出售一款商品,经市场调查发现,该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,且该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表:
|销售单价x/元|75|78|82|
|日销售量y/件|150|120|80|
|日销售利润w/元|5250|a|3360|

(1)y与x之间的函数解析式为$y=-10x+900$,该产品的成本单价为40元,表中a的值为4560.
(2)求该商品日销售利润的最大值.
6250
(3)由于某种原因,该商品的进价每件降低了m元(m＞0),商店规定该商品的销售单价不低于68元.若日销售量与销售单价仍然满足(1)中的函数关系,且日销售利润的最大值为6600元,求m的值.
2

答案：
(1)$y=-10x+900$；40；4560
(2)6250
(3)2