《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

3. 如图,抛物线$y= ax^{2}-2ax+c与x轴交于A(-2,0)$,$B$两点,点$C(6,4)$在抛物线上.
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若点$D为y$轴左侧抛物线上一点,且$\angle DCA= 2\angle CAB$,求点$D$的坐标.

答案：
(1) 将点$A(-2,0)$代入$y=ax^2 - 2ax + c$，得$0 = a(-2)^2 - 2a(-2) + c$，即$8a + c = 0$。
将点$C(6,4)$代入，得$4 = a(6)^2 - 2a(6) + c$，即$24a + c = 4$。
联立解得$a = \frac{1}{4}$，$c = -2$。抛物线解析式为$y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$。
顶点横坐标$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{1}{2}}{2 × \frac{1}{4}} = 1$，代入得$y = \frac{1}{4}(1)^2 - \frac{1}{2}(1) - 2 = -\frac{9}{4}$。顶点坐标$(1, -\frac{9}{4})$。
(2) 由抛物线解析式$y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$，令$y=0$得$\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2 = 0$，解得$x=-2$或$x=4$，故$B(4,0)$。
$A(-2,0)$，$C(6,4)$，直线$AC$斜率$k_{AC} = \frac{4 - 0}{6 - (-2)} = \frac{1}{2}$，$\tan\angle CAB = \frac{1}{2}$，则$\tan2\angle CAB = \frac{2 × \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{4}{3}$。
设直线$CD$斜率为$k$，直线$CA$斜率为$\frac{1}{2}$，由夹角公式$\left|\frac{k - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}k}\right| = \frac{4}{3}$，解得$k = - \frac{1}{2}$或$k = \frac{11}{2}$（$k = \frac{11}{2}$时交点在$y$轴右侧，舍去）。
直线$CD$：$y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 6)$，即$y = -\frac{1}{2}x + 7$。联立抛物线方程$\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2 = -\frac{1}{2}x + 7$，解得$x = 6$（$C$点）或$x = -6$。
$x = -6$时，$y = \frac{1}{4}(-6)^2 - \frac{1}{2}(-6) - 2 = 10$。故$D(-6,10)$。
(1) $(1, -\frac{9}{4})$
(2) $(-6,10)$

4. 已知抛物线$C_{1}:y= ax^{2}+bx+2经过点A(1,0)$,$B(-3,0)$,与$y轴交于点C$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,将抛物线$C_{1}平移得到抛物线C_{2}$,抛物线$C_{2}的顶点坐标为\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{25}{6}\right)$,交$x轴于点A'$,$B'$,交$y轴于点C'$.若点$P'$是第一象限内抛物线上的一点,连接$B'P'$,$A'C'$,是否存在点$P'$,使$\angle B'A'C'= 2\angle P'B'A'$？若存在,求出点$P'$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1) $y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x+2$；
(2) 存在，$P'(\frac{9}{4},\frac{17}{8})$。