《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1.如图,A,B,C三点都在⊙O上,若∠BOC= 80°,则∠A的度数为 (B)
A.20°
B.40°
C.60°
D.80°

答案： 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
在$\odot O$中，$\angle BOC$是圆心角，$\angle A$是圆周角，它们都对着弧$\overset{\frown}{BC}$。
已知$\angle BOC = 80^{\circ}$，所以$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}×80^{\circ}=40^{\circ}$。
答案选B。

2.如图,AB是⊙O的直径,弦AC的长为5,点D在圆上,且∠ADC= 30°,则⊙O的半径为5.

答案： 连接BC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠ADC=30°，
∴∠ABC=∠ADC=30°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=5，
∴AB=2AC=10（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∴⊙O的半径为AB/2=5。
5

3.如图,在⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A= 45°,∠APD= 80°,则∠B的大小是___.

35°

答案：
∵∠APD是△APC的外角，∠A=45°，∠APD=80°，
∴∠C=∠APD - ∠A=80° - 45°=35°.
∵∠B与∠C所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$，
∴∠B=∠C=35°.
35°

4.如图,OA,OB,OC是⊙O的半径,OA⊥OB,∠OBC= 67.5°,点D是$\overset{\frown}{AC}$上的一点,连接CD,AD,AB,BC,则∠ADC的度数为___67.5°.

答案：
∵OA,OB,OC是⊙O的半径，
∴OA=OB=OC.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°.
∵OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB=67.5°.
在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-67.5°-67.5°=45°.
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+45°=135°，
∴弧AC所对的圆心角∠AOC=135°.
∵点D是$\overset{\frown}{AC}$上一点，∠ADC是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×135°=67.5°.
67.5°

5.如图,CD是⊙O的直径,A,B是⊙O上的两点,连接AB,AC,AD,BD.若∠ABD= 20°,则∠ADC的度数为70°.

答案： 因为$CD$是$\odot O$的直径，所以$\angle CAD = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$\angle ABD$与$\angle ACD$是同弧所对的圆周角，所以$\angle ACD=\angle ABD = 20^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle ADC = 90^{\circ}-\angle ACD = 90^{\circ}- 20^{\circ}=70^{\circ}$。
故答案为$70^{\circ}$。

6.【教材P89习题T6变式】如图,把直角三角尺的直角顶点O放在破损圆形玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM= 8 cm,ON= 6 cm,则该圆形玻璃镜的半径是5cm.

答案： 连接$MN$。
$\because \angle O = 90^{\circ}$，$OM = 8cm$，$ON = 6cm$，
$\therefore$由勾股定理得$MN=\sqrt{OM^{2}+ON^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10(cm)$。
$\because \angle O = 90^{\circ}$，
$\therefore MN$是直径，
$\therefore$该圆形玻璃镜的半径是$5cm$。
故答案为$5$。

7.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦.若∠CDB= 36°,则∠ABC的度数为___.

54°

答案：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠CDB=36°，
∴∠CAB=∠CDB=36°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°-∠CAB=90°-36°=54°。
54°