《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= -x^{2}+\frac{7}{2}x+2经过A(-\frac{1}{2},0)$,$B(3,\frac{7}{2})$两点,与y轴交于点C,点P在抛物线上,过点P作$PD\perp x$轴,交直线BC于点D.若以P,D,O,C为顶点的四边形是平行四边形,则点P的横坐标为$1$，$2$，$\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$，$\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$.

答案： $1$，$2$，$\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$，$\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

2.如图,抛物线$y= ax^{2}+4x+c$与x轴交于$A(-3,0)$,B两点,与y轴交于点$C(0,3)$,点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在平面内是否存在一点Q,使以A,C,D,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)将$A(-3,0)$，$C(0,3)$代入$y=ax^2+4x+c$，得：
$\begin{cases} 9a-12+c=0 \\ c=3 \end{cases}$
解得$a=1$，$c=3$，
$\therefore$抛物线解析式为$y=x^2+4x+3$。
(2)由$y=x^2+4x+3=(x+2)^2-1$，得顶点$D(-2,-1)$。
设$Q(x,y)$，分三种情况：
情况1：$AC$为对角线
$AC$中点为$\left(\frac{-3+0}{2},\frac{0+3}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$，
$DQ$中点为$\left(\frac{-2+x}{2},\frac{-1+y}{2}\right)$，
则$\begin{cases} \frac{-2+x}{2}=-\frac{3}{2} \\ \frac{-1+y}{2}=\frac{3}{2} \end{cases}$，解得$x=-1$，$y=4$，$\therefore Q(-1,4)$。
情况2：$AD$为对角线
$AD$中点为$\left(\frac{-3-2}{2},\frac{0-1}{2}\right)=\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$，
$CQ$中点为$\left(\frac{0+x}{2},\frac{3+y}{2}\right)$，
则$\begin{cases} \frac{x}{2}=-\frac{5}{2} \\ \frac{3+y}{2}=-\frac{1}{2} \end{cases}$，解得$x=-5$，$y=-4$，$\therefore Q(-5,-4)$。
情况3：$CD$为对角线
$CD$中点为$\left(\frac{0-2}{2},\frac{3-1}{2}\right)=(-1,1)$，
$AQ$中点为$\left(\frac{-3+x}{2},\frac{0+y}{2}\right)$，
则$\begin{cases} \frac{-3+x}{2}=-1 \\ \frac{y}{2}=1 \end{cases}$，解得$x=1$，$y=2$，$\therefore Q(1,2)$。
综上，存在点$Q$，坐标为$(-1,4)$或$(-5,-4)$或$(1,2)$。
答案
(1)$y=x^2+4x+3$；
(2)存在，$Q$的坐标为$(-1,4)$，$(-5,-4)$，$(1,2)$。

3.如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+c$与x轴交于$A(-1,0)$,$B(4,0)$两点,与y轴交于点$C(0,-4)$,连接BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M在抛物线上,点N在x轴上,以B,C,N,M为顶点的四边形是平行四边形,求出点N的坐标.

答案：
(1)$y=x^2-3x-4$；
(2)$(1,0)$，$(7,0)$，$\left(\frac{-5+\sqrt{41}}{2},0\right)$，$\left(\frac{-5-\sqrt{41}}{2},0\right)$。