《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 将边长为4的正方形ABCD和边长为$2\sqrt{2}$的正方形CEFG按如图1所示的方式摆放,将正方形CEFG绕点C顺时针旋转,连接BG,DE.
(1)如图2,求证：$\triangle BCG \cong \triangle DCE$.
(2)如图2,连接DG,BE,判断$DG^2 + BE^2$是否为定值. 若是,求这个定值；若不是,请说明理由.

答案：
(1)见证明；
(2)是定值，48。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^\circ$,点D是BC边上一动点,连接AD,将AD绕点A顺时针旋转$120^\circ$得到AE,连接CE.
(1)若$BD = 3$,$CD = 9$,则AD的长为√21.
(2)连接DE,交AC于点N,过点B作$BM // AC$交ED的延长线于点M. 求证：$DM = EN$.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°.∵AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=120°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ACE=∠ABD=30°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=60°.∵BM//AC，∴∠MBC=∠ACB=30°，∴∠MBD=∠ABC+∠MBC=60°，∴∠MBD=∠DCE.∵∠MDB=∠EDC，∴△MDB∽△EDC，∴MD/ED=BD/CD.∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴MD/ED=CE/CD.∵∠DEN=∠DEC，∠EDN=∠ECD=60°，∴△EDN∽△ECD，∴EN/EC=ED/CD，∴EN=EC·ED/CD=BD·ED/CD=MD，即DM=EN.
(3)在(2)的条件下,若$AB = 6$,则在点D运动的过程中,当AE最小时,请直接写出DM的长.3√3/2

答案：
(1)√21；
(2)见解析；
(3)3√3/2。