《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,抛物线$y= x^{2}-2x-6$与x轴交于A,B两点,点C是AB的中点,$□ CDEF$的顶点D,E,F均在抛物线上,连接DF.求证:直线DF经过一定点.

答案： 1. 求A、B两点坐标：令$y=0$，解方程$x^2 - 2x - 6=0$，得$x=1\pm\sqrt{7}$，故$A(1-\sqrt{7},0)$，$B(1+\sqrt{7},0)$。
2. 求C点坐标：C为AB中点，横坐标$\frac{(1-\sqrt{7})+(1+\sqrt{7})}{2}=1$，纵坐标0，即$C(1,0)$。
3. 设点坐标：设$D(m,m^2 - 2m - 6)$，$F(n,n^2 - 2n - 6)$，E为抛物线上点。
4. 平行四边形性质：$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{FE}$，得$E$横坐标$p=m+n-1$，纵坐标$y_E=y_D+y_F$。
5. 代入抛物线方程：$y_E=(m+n-1)^2 - 2(m+n-1)-6$，且$y_E=y_D+y_F$，化简得$(m-1)(n-1)=-\frac{7}{2}$。
6. 直线DF方程：斜率$k=\frac{y_F - y_D}{n - m}=m+n-2$，点斜式得$y=(m+n-2)x - mn - 6$。
7. 代入$mn=m+n-\frac{9}{2}$：直线方程化为$y=(m+n-2)x-(m+n)-\frac{3}{2}=t(x - 1)-2x-\frac{3}{2}$（$t=m+n$）。
8. 定点：令$x - 1=0$，得$x=1$，$y=-2×1-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$。
结论：直线DF经过定点$(1,-\frac{7}{2})$。

2. 如图1,抛物线$y= x^{2}+bx+c$与x轴交于$A(-1,0)$,B两点,与y轴交于点$C(0,-3)$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2,将上述抛物线平移,使其顶点E与原点O重合得到新的抛物线,直线$y= kx+2(k＞0)$与新的抛物线相交于点P,Q(点P在点Q的左侧),过点P作x轴的平行线交抛物线于点H.请说明当k发生改变时,直线QH过定点,并求出该定点的坐标.

答案：
(1)$y=x^2 - 2x - 3$；
(2)定点$(0,-2)$。