《2025年名校作业九年级数学上册人教版湖北专版》

1. 填写下面表格：
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $y= 3(x-5)^{2}$ | | | |
| $y= -3(x+5)^{2}$ | | | |

答案： 对于二次函数$y = a(x - h)^2$：
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。
对称轴为直线$x = h$，顶点坐标为$(h,0)$。
对于函数$y = 3(x - 5)^2$：
开口方向：因为$a = 3\gt0$，所以开口向上。
对称轴：$x = 5$。
顶点坐标：$(5,0)$。
对于函数$y = -3(x + 5)^2$：
开口方向：因为$a = -3\lt0$，所以开口向下。
对称轴：$x = -5$。
顶点坐标：$(-5,0)$。
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = 3(x - 5)^2$ | 向上 | $x = 5$ | $(5,0)$ |
| $y = -3(x + 5)^2$ | 向下 | $x = -5$ | $(-5,0)$ |

2. 二次函数$y= 5(x-2)^{2}$的大致图象是(D)

答案： 对于二次函数$y = a(x - h)^{2}$：
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。
在二次函数$y = 5(x - 2)^{2}$中，$a = 5\gt0$，所以抛物线开口向上，可排除选项A、C。
二次函数$y = a(x - h)^{2}$的顶点坐标为$(h,0)$。
在二次函数$y = 5(x - 2)^{2}$中，$h = 2$，所以顶点坐标为$(2,0)$，即抛物线的对称轴为直线$x = 2$，可排除选项B。
所以答案选D。

3. 关于二次函数$y= -(x-3)^{2}$,下列说法错误的是(D)
A.图象开口向下
B.图象的对称轴是直线$x= 3$
C.最大值是0
D.图象与y轴不相交

答案： 对于二次函数$y = - (x - 3)^{2}$：
A. 由于二次项系数为-1（小于0），所以图象开口向下，故A选项正确；
B. 对于函数$y = a(x - h)^{2} + k$，其对称轴为$x = h$，所以函数$y = - (x - 3)^{2}$的对称轴为$x = 3$，故B选项正确；
C. 由于图象开口向下，顶点为最大值点，对于函数$y = - (x - 3)^{2}$，当$x = 3$时，$y = 0$，所以最大值为0，故C选项正确；
D. 将$x = 0$代入函数$y = - (x - 3)^{2}$，得到$y = -9$，说明图象与y轴的交点为(0, -9)，故D选项错误。
所以，错误的说法是D。

4. 已知抛物线$y= 3(x+4)^{2}$经过$(-3,y_{1}),(-5,y_{2}),(-6,y_{3})$三点,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是$y_{1}=y_{2}\lt y_{3}$.

答案： 答题卡：
4.
首先，抛物线$y = 3(x + 4)^{2}$的对称轴为$x = -4$，并且由于系数$a = 3 ＞ 0$，所以抛物线开口向上。
对于开口向上的抛物线，当$x$值离对称轴越远，$y$值就越大。
计算各点到对称轴的距离：
点$(-3, y_{1})$到对称轴$x = -4$的距离为$|-3 - (-4)| = 1$；
点$(-5, y_{2})$到对称轴$x = -4$的距离为$|-5 - (-4)| = 1$；
点$(-6, y_{3})$到对称轴$x = -4$的距离为$|-6 - (-4)| = 2$。
由于点$(-3, y_{1})$和点$(-5, y_{2})$到对称轴的距离相等，所以$y_{1} = y_{2}$；
又因为点$(-6, y_{3})$到对称轴的距离最远，所以$y_{3}$最大。
综上，$y_{1} = y_{2} ＜ y_{3}$。

5. 将抛物线$y= -3x^{2}$向右平移2个单位长度,所得抛物线的解析式是(B)
A.$y= -3x^{2}-2$
B.$y= -3(x-2)^{2}$
C.$y= -3x^{2}+2$
D.$y= -3(x+2)^{2}$

答案： B

6. 比较抛物线$y= 2x^{2},y= 2(x-1)^{2}$,下列说法正确的是(C)
A.顶点都是原点
B.对称轴都是y轴
C.开口都向上
D.开口大小不同

答案： 对于抛物线$y = 2x^{2}$：
顶点：由标准形式可知，顶点为$(0, 0)$。
对称轴：由于抛物线是关于y轴对称的，对称轴为$x = 0$。
开口方向：因为系数$a = 2 ＞ 0$，所以开口向上。
对于抛物线$y = 2(x - 1)^{2}$：
顶点：由标准形式可知，顶点为$(1, 0)$。
对称轴：由于抛物线是关于直线$x = 1$对称的，对称轴为$x = 1$。
开口方向：因为系数$a = 2 ＞ 0$，所以开口向上。
对比两个抛物线：
顶点：第一个抛物线的顶点是原点，第二个抛物线的顶点不是原点，所以A选项错误。
对称轴：第一个抛物线的对称轴是y轴，第二个抛物线的对称轴不是y轴，所以B选项错误。
开口方向：两个抛物线的开口都向上，所以C选项正确。
开口大小：两个抛物线的开口大小由系数a决定，因为它们的a值相同（都是2），所以开口大小相同，D选项错误。
故答案为：C。

7. 在同一平面直角坐标系中,画出二次函数$y= x^{2},y= (x-1)^{2},y= (x+1)^{2}$的图象.
(1)请填写下表,并画出二次函数图象：
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y = x^{2}$ | $\cdots$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $\cdots$ |
| $y = (x - 1)^{2}$ | $\cdots$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $\cdots$ |
| $y = (x + 1)^{2}$ | $\cdots$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $\cdots$ |
图象：分别以$(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)$等点描出$y = x^{2}$的图象；以$(-2,9),(-1,4),(0,1),(1,0),(2,1)$等点描出$y=(x - 1)^{2}$的图象；以$(-2,1),(-1,0),(0,1),(1,4),(2,9)$等点描出$y=(x + 1)^{2}$的图象。
(2)写出这些函数图象具有的共同特征.
共同特征：
①图象都是抛物线；
②都开口向上；
③对称轴分别为$x = 0$，$x = 1$，$x=-1$；
④顶点坐标分别为$(0,0)$，$(1,0)$，$(-1,0)$。
(3)说明二次函数$y= (x-1)^{2}和y= (x+1)^{2}的图象可以由二次函数y= x^{2}$的图象经过怎样的变换得到.
二次函数$y=(x - 1)^{2}$的图象可以由二次函数$y = x^{2}$的图象向右平移$1$个单位长度得到；二次函数$y=(x + 1)^{2}$的图象可以由二次函数$y = x^{2}$的图象向左平移$1$个单位长度得到。

答案：
(1)
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y = x^{2}$ | $\cdots$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $\cdots$ |
| $y = (x - 1)^{2}$ | $\cdots$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $\cdots$ |
| $y = (x + 1)^{2}$ | $\cdots$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $\cdots$ |
图象：分别以$(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)$等点描出$y = x^{2}$的图象；以$(-2,9),(-1,4),(0,1),(1,0),(2,1)$等点描出$y=(x - 1)^{2}$的图象；以$(-2,1),(-1,0),(0,1),(1,4),(2,9)$等点描出$y=(x + 1)^{2}$的图象。
(2)共同特征：
①图象都是抛物线；
②都开口向上；
③对称轴分别为$x = 0$，$x = 1$，$x=-1$；
④顶点坐标分别为$(0,0)$，$(1,0)$，$(-1,0)$。
(3)二次函数$y=(x - 1)^{2}$的图象可以由二次函数$y = x^{2}$的图象向右平移$1$个单位长度得到；二次函数$y=(x + 1)^{2}$的图象可以由二次函数$y = x^{2}$的图象向左平移$1$个单位长度得到。